La cardinalidad del conjunto de subconjuntos contablemente infinitos de un conjunto infinito

Question

Dejemos que $A$ sea un conjunto con tarjeta( $A$ )= $a$ . ¿Cuál es el número cardinal del conjunto de subconjuntos contablemente infinitos de $A$ ?

Veo que este problema es equivalente a encontrar el número cardinal del conjunto de funciones inyectivas de $\mathbb{N}\rightarrow{A}$ . También sé que el número cardinal del conjunto de biyecciones de $A\rightarrow{A}$ es $a^{a}$ .

Se agradecerían mucho los consejos y heurisitcs generales.

Answer 1

$A$ tiene $a^\omega$ subconjuntos contablemente infinitos, y no hay mucho más que se pueda decir a menos que se sepa algo sobre el cardinal $a$ . Por ejemplo, si $2\le a\le 2^\omega=\mathfrak c$ entonces $a^\omega=2^\omega$ . Si $\operatorname{cf}a=\omega$ es decir, si $a$ tiene cofinalidad $\omega$ entonces $a^\omega>a$ .

Answer 2

Esto puede tener varias respuestas diferentes. Nótese que asumiendo el axioma de elección el conjunto de subconjuntos contables, $[A]^{\leq\omega}$ tiene la misma cardinalidad que $A^\omega$ .

• Si $a=\omega$ entonces $\omega^\omega$ es de tamaño continuo, y la cardinalidad del continuo no es decidible en ZFC, por lo que puede llegar a ser bastante grande, o no.
• Si $a=2^\omega$ entonces $a^\omega=2^\omega$ de nuevo.
• Si $a=\omega_1$ , $2^\omega=\omega_2$ y $2^{\omega_1}=\omega_3$ entonces $2^\omega\leq\omega_1^\omega\leq(2^\omega)^\omega=\omega_2<2^{\omega_1}=\omega_3$ .

Vemos que hay muchas opciones posibles, y por supuesto si $a$ es singular con cofinalidad $\omega$ entonces $a<a^\omega$ y tenemos que comprobar si SCH es válido para $a$ o no.

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Unas palabras sobre la situación sin el axioma de elección, en modelos donde todos los conjuntos de números reales son medibles por Lebesgue el conjunto $[\mathbb R]^\omega$ tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la del continuo; aunque existe una suryección desde $\mathbb R^\omega\sim\mathbb R$ en este conjunto. Es peculiar, pero así son las cosas cuando se niega el axioma de elección.

Answer 3

Esta es mi solución al problema basada en la respuesta del Sr. Scott.

Dejemos que $C$ denotan el conjunto de mapas inyectivos de $\omega\rightarrow{A}$ y $C'$ el conjunto de mapas inyectivos de $\omega\times{\omega}\rightarrow{A\times{A}}$ . Entonces $card(C)=card(C')=c$ . Desde $C\subset{A^\omega}$ encontramos $c\le{a^\omega}$ . Ahora arreglamos $\alpha\in\omega$ . Por otro lado a cada $f\in{A^\omega}$ asociamos el mapa en $C'$ que intercambia $(x,\alpha)$ con $(x,f(x))$ y arregla todo lo demás. Esto muestra $a^\omega\le{c}$ De ahí que $a^\omega=c$ .