Órbitas de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ bajo la acción del subgrupo de automorfismo

Question

Dejemos que $A\leq \rm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ . Estoy interesado en las órbitas de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ bajo la acción de $A$ es decir, los conjuntos

$$\{\sigma i : \sigma \in A\},$$

donde $i\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Si $\sigma i = j$ entonces existe una unidad correspondiente $u\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ tal que $ui\equiv j\bmod{n}$ De ahí que $(i,n)=(j,n)$ . Así, para describir el comportamiento de las órbitas del grupo, basta con fijar un divisor $d$ de $n$ y considerar las órbitas del conjunto

$$R_d:=\{i\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : (i,n)=\tfrac{n}{d}\},$$

que tiene $\varphi(d)$ elementos. ¿Se sabe algo sobre cómo un subgrupo de automorfismo arbitrario de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ particiones $R_d$ en las órbitas? En particular, ¿se puede decir algo sobre su tamaño y número?

Editar:

Tal vez deba aclararlo. El hecho de que $\rm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ se utilizó anteriormente para deducir que cada órbita de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ está contenida en algún $R_d$ . Me interesa la naturaleza explícita de las órbitas. Por ejemplo, si $A$ es cíclico, entonces he demostrado que $A$ particiones $R_n$ en $|A|$ órbitas de tamaño $\varphi(n)/|A|$ . Estaría bien generalizar este tipo de resultado para incluir los casos en los que $d< n$ y $A$ no es cíclico.

Answer 1

Desde $\Bbb Z/n\Bbb Z$ es cíclico, cualquier automorfismo de $\Bbb Z/n\Bbb Z$ está completamente determinado por su efecto en un generador fijo (por ejemplo, en $\bar1$ ). Por otra parte, está claro que para cualquier $\bar k\in(\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times$ es decir, cualquier clase de período aditivo $n$ la asignación $\bar1\mapsto\bar k$ define un automorfismo $\phi_{\bar k}$ .

Ahora es completamente sencillo comprobar que el mapa $$ (\Bbb Z/n\Bbb Z)^\times\longrightarrow\text{Aut}(\Bbb Z/n\Bbb Z),\qquad \bar k\mapsto\phi_{\bar k} $$ es un isomorfismo, del que puedes obtener fácilmente las respuestas que buscas.