Demostrar que $112$ divide la parte integral de $4^m-(2+\sqrt{2})^m$

Question

<blockquote> <p>Que $m$ sea un entero positivo impar no divisible por $3$. Demostrar que %#% $ #%</p> </blockquote> <p>No estaba seguro de cómo simplificar la expresión, puesto que tenemos la entera parte $$112 \mid \left [ 4^m-(2+\sqrt{2})^m\right].$ y radicales. Usando el teorema del binomio tenemos $[x]$ $ pero no estoy seguro de cómo usarlo.</p>

Answer 1

Desde $2-\sqrt{2}\in\left(0,\frac{2}{3}\right)$ $(2+\sqrt{2})^m+(2-\sqrt{2})^m$ es un número entero, es suficiente para el estudio de las secuencias dado por $a_m=(2+\sqrt{2})^m+(2-\sqrt{2})^m$$b_m=4^m$. Tenemos: $$ a_{m+2} = 4a_{m+1}-2a_{m}$$ por lo tanto la situación $\!\!\pmod{7}$ $\!\!\pmod{16}$ es la siguiente: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 & \color{red}{5} & 6 & \color{red}{7}\\ \hline a_n\pmod{7} & 2 & 4 & 5 & 5 & 3 & 2 & 2 & 4 \\ \hline a_n\pmod{16} & 2 & 4 & 12 & 8 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ \hline b_n\pmod{7} & 1 & 4 & 2 & 1 & 4 & 2 & 1 & 4 \\ \hline b_n\pmod{16} & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline b_n-a_n \pmod{7} & 6 & \color{red}{0} & 4 & 3 & 1 & \color{red}{0} & 6 & \color{red}{0} \\ \hline b_n-a_n\pmod{16} & 15 & \color{red}{0} & 4 & 8 & 8 & \color{red}{0}& 0 & \color{red}{0} \\ \hline \end{array} $$

El reclamo sigue ahora por inspección directa de la tabla anterior y el teorema chino.

Vamos que estado claramente: $n$ impar y no divisible por tres medios $n\equiv 1,5\pmod{6}$. Por lo que estamos interesados en el highligthed las columnas de arriba. El período de $a_n\pmod{7}$ es de seis y $a_n\equiv 0\pmod{16}$ cualquier $n\geq 5$. El período de $b_n\pmod{7}$ es de tres y $b_n\equiv 0\pmod{16}$ cualquier $n\geq 2$. Así, con el fin de demostrar que el $b_n-a_n\equiv 0\pmod{112}$ cualquier $n\equiv 1,5\pmod{6}$, es suficiente para probar que se tiene para $n\in\{1,5,7\}$.