Simplificar $\frac1{1+x}+\frac2{1+x^2}+\frac4{1+x^4}+\frac8{1+x^8}+\frac{16}{x^{16}-1}$

Question

Necesitamos simplificar $$\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1+x^2}+\dfrac{4}{1+x^4}+\dfrac{8}{1+x^8}+\dfrac{16}{x^{16}-1}$$

El último denominador se puede factorizar y podemos obtener todos los demás denominadores como factores de $x^{16}-1$ . He intentado manejar las expresiones por pares,empezando por la derecha.También he intentado sacar un factor común de dos de los numeradores para ayudar a simplificar,pero eso no ha dado nada.Luego he intentado multiplicar todas las fracciones para obtener $x^{16}-1$ en el denominador, pero eso empeora las cosas (creo que sí).

Así que después de hacer las cosas anteriores (y mucho más),siento que me estoy quedando sin ideas.Una realmente pequeña pista será apreciado.

Answer 1

$$\frac{16}{x^{16}-1}=\frac{8}{x^8-1}+\frac{-8}{x^8+1}$$

Así que el $4^{th}$ plazo de la suma original y el $2^{nd}$ de la descomposición anterior se cancelan. Usted se queda con: $$ \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1+x^2}+\dfrac{4}{1+x^4}+\dfrac{8}{x^{8}-1} $$ Continúa de forma similar. Al final obtendrá $\frac{1}{x-1}$ .

Answer 2

En términos más generales, $$ \sum_{n=0}^N \dfrac{2^n}{1+x^{2^n}} = \dfrac{2^{N+1}}{1-x^{2^{N+1}}} - \dfrac{1}{1-x}$$ como puede demostrarse por inducción.

Answer 3

Pista: Añadir $\dfrac{1}{1-x}$ a la expresión dada y ver la suma telescópica.