Si , Entonces

Question

<blockquote> <p>Muestran que si $p> 2$ es una privilegiada, $n > 1$ impar y $p\mid (3^n+1)$, entonces el $p\equiv 1\pmod{3}$.</p> </blockquote> <p>Puesto que es impar, que tenemos $n$$3^{n+1} \equiv -3 \pmod{p}$ es un residuo cuadrático. Entonces pensé sobre el uso de la reciprocidad cuadrática pero no veía cómo aplicarlo.</p> <p>Tenemos $x^2 \equiv -3 \pmod{p}$ % entero $x$. Por el pequeño Teorema de Fermat tenemos $$x^{p-1} \equiv x^2 \cdot x^{p-3} \equiv -3 \cdot x^{p-3} \equiv 1 \pmod{p}.$$ Thus, $x ^ {p-3} \equiv -3 ^ {-1} \pmod{p}$.</p> <p>No veo cómo obtener una contradicción si $p \equiv 2 \pmod{3}$.</p>

Answer 1

Lema: por un extraño prime $q,$ siempre tenemos $$ (-3|q) = (q |3). $$ Prueba: si $q \equiv 1 \pmod 4,$ $$ (-3|q) = (-1|q)(3|q) = (3|q) = (q|3). $$ Si $q \equiv 3 \pmod 4,$ $$ (-3|q) = (-1|q)(3|q) = -(3|q) = (q|3). $$

En el lema, $3$ puede ser reemplazado por cualquier prime $r \equiv 3 \pmod 4.$

Deje $n = 2k+1.$ Tenemos $1 + 3^n = 1 + 3 (3^k)^2 = 1 + 3 w^2.$ Si $p \equiv 2 \pmod 3$ y $$ x^2 + 3 y^2 \equiv 0 \pmod p, $$ assume $y$ is not divisible by $p.$ A continuación, $y$ tiene un inverso multiplicativo $\pmod p.$ $$ x^2 \equiv -3 y^2 \pmod p, $$ $$ \frac{x^2}{y^2} \equiv -3 \pmod p, $$ $$ \left( \frac{x}{y} \right)^2 \equiv -3 \pmod p. $$ Esto contradice $p \equiv 2 \pmod 3,$ en realidad $y$ es divisible por $p.$ Se sigue que $x$ es también divisible por $p.$

Volver al problema original, tenemos $p \equiv 2 \pmod 3$ y $$ 1 + 3 w^2 \equiv 0 \pmod p.$$ Sin embargo, esto implica $1$ es divisible por $p,$ lo cual es falso

====================================================================

La propuesta fácil es esta: nos da una forma cuadrática $$ a x^2 + b x y + c y^2 $ $ , con discriminante $$ \Delta = b^2 - 4 a c,$$ finally an odd prime $q$ que $$ (\Delta | q) = -1. $$ SI $$ a x^2 + b x y + c y^2 \equiv 0 \pmod q $ $ , A CONTINUACIÓN, ambos $$ x,y \equiv 0 \pmod q, $$ y obtenemos el extra $$ a x^2 + b x y + c y^2 \equiv 0 \pmod {q^2} $$