¿Por qué isn ' t un bijection continuo de un localmente compacto espacio a un espacio de Hausdorff un Homeomorfismo?

Question

Sé que si $f : X \rightarrow Y$ es un continuo bijection de un espacio compacto $X$ a un espacio de Hausdorff $Y$, $f$ es un homeomorphism.

Así que estaba pensando que si nos relajamos el supuesto de $X$ compacto de a $X$ localmente compacto, debe ser cierto. Utilizando el resultado anterior, $f$ es un homeomorphism si nos restringimos a un compacto barrio de $X$. Ya que podemos encontrar un compacto vecindario alrededor de cada punto de $X$, $f$ debe ser un local homeomorphism. Pero un bijective local homeomorphism es un mundial homeomorphism, por lo que sería.

Sin embargo, si no me equivoco, el mapa de $f : [0, 2\pi[ \rightarrow S^1, f(\theta) = e^{i\theta}$ es un contraejemplo. Lo que está mal con mi razonamiento ?

Answer 1

Un simple ejemplo es el de la identidad de un discretos $\mathbb{R}$ a los habituales $\mathbb{R}$, tanto localmente compacto metrisable, cualquier mapa de un espacio discreto es continua. El compacto de los barrios en el primer espacio sólo son finitos, por lo que no tenemos que hay un local homeomorphism (la finita de conjuntos homeomórficos en ambos espacios), pero no son los barrios en la imagen.

Asimismo, por su ejemplo, el pacto de los barrios de $[0,r]$ $0$ $[0,2\pi)$ tienen compacto homeomórficos imágenes en $S^1$, pero estos no son los barrios de $f(0)$ $S^1$ más.

Para ir desde algo así como un local homeomorphism a nivel mundial, necesitamos una mayor condición. Algo así como: para cada $x \in X$ y todas las compactas de vecindad $C$$x$$X$, debemos tener la $f[C]$ es (necesariamente homeomórficos) barrio de $f(x)$. Y como hemos visto, esto no significa garantueed de ser sólo continua y bijective.