Encontrar todos los valores de a para que la ecuación de $x^4 +(a-1)x^3 +x^2 +(a-1)x+1=0$ posee al menos dos distintas negativo raíces

Question

Encontrar todos los valores de a para que la ecuación $$x^4 +(a-1)x^3 +x^2 +(a-1)x+1=0 $ $ posee al menos dos distintas negativo raíces.

Soy capaz de demostrar que todas las raíces sería negativas. Cómo proceder después de esto.

Answer 1

Me he decidido a transformar mi comentario en una respuesta.

Como $x=0$ no es una raíz, dividir la ecuación por $x^2$ y resolver para $x+\frac{1}{x}$ RGB, ha señalado. Se obtienen dos soluciones $y_1$$y_2$$x+\frac{1}{x}$: $$x+\frac{1}{x}=\frac{-(a-1)-\sqrt{(a-1)^2+4}}{2}=y_1$$ y $$x+\frac{1}{x}=\frac{-(a-1)+\sqrt{(a-1)^2+4}}{2}=y_2$$ Si queremos que dos negativos raíces de la línea de $y=y_1$ debe interceptar el doble de la función $f(x)=x+\frac{1}{x}$ en el tercer cuadrante. Eso sólo es posible si $y_1<-2$. Vea la figura de abajo:

Así que vamos a resolver la desigualdad: $$y_1<-2 \Rightarrow $$ $$\frac{-(a-1)-\sqrt{(a-1)^2+4}}{2}<-2 \Rightarrow $$ $$-(a-1)-\sqrt{(a-1)^2+4}<-4 \Rightarrow $$ $$(a-1)+\sqrt{(a-1)^2+4}>4 \Rightarrow $$ $$\sqrt{(a-1)^2+4}>5-a \Rightarrow $$ $$a^2-2a+5>25-10a+a^2 \Rightarrow $$ $$8a>20 \Rightarrow $$ $$a>\frac{5}{2}$$ Por lo tanto, para $a>\frac{5}{2}$ la ecuación original tiene dos negativos raíces.

Answer 2

Se trata de un simétrico (coeficientes) polinomio. Nosotros podemos querer tomar ventaja de eso. Podemos dividir en $x^2$ y obtener $$(x+\frac{1}{x})^2+(a-1)(x+\frac{1}{x})-1=0$ $

Desde allí podemos resolver $x+\frac{1}{x}$ y obtener $$x+\frac{1}{x}=\frac{-(a-1)\pm\sqrt{(a-1)^2+4}}{2}.$ $

Se trata de una ecuación cuadrática. Resolver $x$ y obtener las raíces.