Teorema de Sylow verbal es falso

Question

Tenemos el siguiente teorema:

Teorema. Deje $p$ ser una de las primeras y $G$ ser un grupo finito cuyo fin es divisible por $p$. A continuación, el número de Sylow-$p$ subgrupos de $G$ es congruente a $1$ modulo $p$.

Vamos a encontrar un contraejemplo a este teorema.

Deje $G=SL_2(F_3)$ donde $F_3$ denota el campo finito de orden $3$. A continuación,$|G|=24$. Deje $n_3$ denotar el número de Sylow-$3$ subgrupos de $G$. A continuación, el número de elementos de orden $3$$G$$2n_3$.

Deje $M\in G$ ser una matriz de orden $3$. A continuación, $M$ satisface el polinomio $x^3-1=(x-1)^3$. Así, el polinomio mínimo de a $M$ es $x-1$ o es $(x-1)^2=x^2+x+1$. Pero a la mínima que el polinomio no puede ser $x-1$ desde el fin de la $M$$3$. Por lo que el polinomio mínimo de a $M$ se $x^2+x+1$. Desde el polinomio característico de a $M$ tiene el grado $2$, vemos que el mínimo y el polinomio característico de a $M$ coinciden, y por lo tanto $M$ es cíclica. Esto significa que no es un vector $v\in F_3^2$ tal que $\{v, Mv\}$ es una base de $F_3^2$. Por lo $M$ es similar a la de la matriz $N:=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$.

Lo que hemos demostrado es que todas las matrices de orden $3$ $G$ son similares a $N$. Está claro que todas las matrices similares a $N$ son de orden $3$.

Así que el conjunto de todos los elementos de orden $3$ $G$ es igual a la clase conjugacy de $N$.

Así que ahora salimos a buscar el tamaño de la clase conjugacy de $N$. Este es el mismo como el índice de la centralizador $C_G(N)$$N$. Deje $A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}$$C_G(N)$. A continuación, el uso de $ANA^{-1}=N$,$b=-c$$d=a+b$, y el uso de $\det(A)=1$ tenemos $a^2+ab+b^2=1$. Las soluciones a esta se $(a, b)=(0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 1)$. Por lo $|C_G(N)|=6$. Por lo tanto,$\text{conj}(N)=|G:C_G(N)|=4$.

Así que nos han demostrado que no se $4$ elementos de orden $3$$G$, que los rendimientos no son $2$ Sylow-$3$ subgrupos en $G$.

Esto contradice el teorema citado en el comienzo del teorema.

Puede alguien por favor señale mi error? Sé que los teoremas de Sylow no está mal :)

Answer 1

Mi sospecha (ver los comentarios) resultó ser correcta. El centralizador de $N$ $H=GL_2(\Bbb{F}_3)$ tiene el mismo seis elementos como $C_G(N)$. El OP ya demostró que la $$ X=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) $$ desplazamientos con $N$, iff $c=-b$$d=a+b$, y, a continuación, se enumeran las seis de tales matrices con determinante $a^2+ab+b^2=1$. El campo $\Bbb{F}_3=\{0,\pm1\}$, por lo que queremos comprobar si existen matrices $X$ que conmuta con $N$ y han determinante $=-1$. Pero la ecuación $$ a^2+ab+b^2=-1 $$ no tiene soluciones $(a,b)\in\Bbb{F}_3^2$. Esto es debido a que el modulo $3$ hemos $$ a^2+ab+b^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2, $$ y $-1$ no es un residuo cuadrático módulo $3$. Esto significa que $\det X\neq-1$ para todos los $X\in C_G(N)$.

Por lo tanto, $C_H(N)=C_G(N)$ tiene seis elementos, y la clase conjugacy de $N$ $H$ tiene ocho elementos. Debido a $G\lhd H$, la clase conjugacy está contenida en $G$, pero tiene que dividir en dos clases conjugacy de $G$.

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Para dar una imagen más completa voy a demostrar que las matrices $$ N_1=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right) $$ y $$ N_2=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\right) $$ está conjugado en $H$, pero no en $G$. Con $X$ por encima de la ecuación $XN_1=N_2X$ es equivalente a $$ c=0\qquad\text{y}\qquad a+b=b-d. $$ Esto tiene una solución,$1=a=b=-d$, pero también obliga a $d=-a$ donde $\det X=-a^2=-1$.

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En general las matrices de la forma $\pmatrix{1&a\cr0&1\cr},a\neq0,$ son todos conjugado en $GL_2(\Bbb{F}_p)$. Pero se dividen en dos clases conjugacy en $SL_2(\Bbb{F}_p)$ según si $a$ es un residuo cuadrático o de segundo grado no-residuo modulo $p$.

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Puede ser vale la pena observar que vemos similar ocasional de la división de clases conjugacy del grupo simétrico $S_n$ (es decir, las permutaciones de idéntica ciclo de tipos) en dos clases en el índice de dos subgrupos $A_n$. El mecanismo para detectar cuando se esta dividiendo pasa es el mismo que acabamos de ver aquí - estudio el tamaño de la centralizador en tanto el grupo más grande y el subgrupo de interés.

Si el centralizador de una permutación $\sigma$ sólo contiene otros incluso permutaciones, entonces la clase conjugacy se divide en dos igualdad de tamaño de las clases conjugacy de $A_n$, debido a que el tamaño de la clase conjugacy está dada por el índice de la centralizador. OTOH, si una permutación $\sigma\in A_n$ es centralizada por al menos una permutación impar (en cuyo caso la mitad de las permutaciones en el centralizador realmente será impar), entonces $C_{A_n}(\sigma)$ será de índice dos en $C_{S_n}(\sigma)$. En consecuencia, el tamaño de la clase conjugacy seguirá siendo el mismo, y por lo tanto, la clase no se divide.

Answer 2

Las clases conjugacy de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)$ están incluidas en esta exposición de conferencias nota. Podría ser posible encontrar que las clases conjugacy en $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ está dividido en varias clases conjugacy en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)$. Comparar la Tabla 1 y la Tabla 2.

A partir de este (Ver Tabla 2), las dos clases conjugacy han representantes $$ \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$ \begin{pmatrix} 1&-1\\0& 1\end{pmatrix} $$ y cada clase conjugacy ha $4$ elementos. Todos ellos tienen orden de $3$.

Por lo tanto, debemos tener $n_3 = 4$.