¿Cómo podría usted demostrar la convergencia/divergencia de las siguientes series?
$$\sum_{n\ge0} \cos (\pi \sqrt{n^2+n+1}) $$
Estoy interesado en más formas de demostrar la convergencia/divergencia de esta serie.
Mis pensamientos
Vamos $$u_{n}= \cos (\pi \sqrt{n^2+n+1})$$ Primero vamos a comprobar Una condición necesaria para la convergencia de las que seires es que el límite $$\lim\limits_{n \to \infty} u_n$$ should exist and be equal $0$
pero tengo respuesta en mi viejo libro pero no puedo recordar cómo consiguieron que
$$u_n=\cos \left(n\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{8n}+o(\frac{1}{n^2})\right)=\frac{(-1)^{n+1}.3\pi}{8n}+o(\frac{1}{n^2})$$
desde $|\frac{(-1)^{n+1}.3\pi}{8n}|$ disminuyendo. y convergen $0$
entonces por compraison $u_n$ es convergente
cualquier ayuda se agradece