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¿$\sum_{n\ge0} \cos (\pi \sqrt{n^2+n+1}) $ Convergen/divergen?

¿Cómo podría usted demostrar la convergencia/divergencia de las siguientes series?

$$\sum_{n\ge0} \cos (\pi \sqrt{n^2+n+1}) $$

Estoy interesado en más formas de demostrar la convergencia/divergencia de esta serie.

Mis pensamientos

Vamos $$u_{n}= \cos (\pi \sqrt{n^2+n+1})$$ Primero vamos a comprobar Una condición necesaria para la convergencia de las que seires es que el límite $$\lim\limits_{n \to \infty} u_n$$ should exist and be equal $0$

pero tengo respuesta en mi viejo libro pero no puedo recordar cómo consiguieron que

$$u_n=\cos \left(n\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{8n}+o(\frac{1}{n^2})\right)=\frac{(-1)^{n+1}.3\pi}{8n}+o(\frac{1}{n^2})$$

desde $|\frac{(-1)^{n+1}.3\pi}{8n}|$ disminuyendo. y convergen $0$

entonces por compraison $u_n$ es convergente

cualquier ayuda se agradece

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Julián Aguirre Puntos 42725

De la expansión de Taylor $$ (1+x)^{1/2}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+O(x^3) $$ obtenemos $$ \begin{align} \sqrt{n^2+n+1}&=n\Bigl(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2}\ &=n\Bigl(1+\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)-\frac{1}{8}\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)^2+O\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)^3\Bigr)\ &=n+\frac12+\frac{3}{8\,n}+O\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr). \end{Alinee el} $$ así $ \cos(\pi\sqrt{n^2+n+1})=\cos\Bigl(\Bigl(n+\frac12\Bigr)\pi+\Bigl(\frac{3\,\pi}{8\,n}+O\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr) $$ ahora uso la fórmula para el coseno de una suma y tomar en cuenta que \cos\Bigl $$ (\Bigl(n+\frac12\Bigr)\pi\Bigr) = 0, \quad\sin\Bigl (\Bigl(n+\frac12\Bigr)\pi\Bigr) =(-1) ^ n. $$

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CodingBytes Puntos 102

Una pista: $\sqrt {n ^ 2 + n +1}-\left (n + {\textstyle {1\over2}} \right) = {3/4 \over \sqrt{n^2+n+1}+\left(n+{1\over2}\right)} =: \ \alpha_n\searrow\ 0\qquad (n\to\infty) . $$

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