¿Cuándo es periódica la integral de una función periódica?

Question

Estoy intentando resolver algunas preguntas de Zwiebach - Un Primer Curso en Teoría de Cuerdas, y me he atascado. He demostrado que una función $h'(u)$ es periódica. La pregunta luego me pide que muestre que $h(u)=au+f(u)$ donde $a$ es una constante y $f(u)$ una función periódica. No puedo ver cómo hacer esto directamente desde la periodicidad de $h'$. ¿Es esto posible, o cierto?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Podemos asumir sin pérdida de generalidad que el período de $h'$ es $1$, por lo que $h'(u + 1) = h'(u).

Considera $h(u + 1) - h(u)$. Al diferenciar, encontramos que $h(u + 1) - h(u) = a$ para algún constante $a. Uno ahora supone que $h(u) = a u + f(u)$ para alguna función periódica $f$. Así que, $$f(u + 1) - f(u) = h(u + 1) - h(u) - a = 0$$ por lo tanto, $f$ es realmente periódica con período $1$.

Answer 2

Pista: Establece $a$ igual a la integral de $h'$ durante un periodo dividido por la longitud de un periodo.

Answer 3

Dado que $h'$ es periódica, al integrar $h'$ en un intervalo del tamaño de su período siempre dará el mismo valor, llamémoslo $I$. Al integrar por ejemplo desde $0$ hasta $T$ dará $I$, desde $0$ hasta $2T$ dará $2I$, etc. En general, $\forall x$, $\int_x^{x+T} h'(u) du =I$. Entonces verás que $h(x+T)-h(x)=I$. (elige cualquier punto $x_0$ para definir $h(x)=\int_{x_0}^x h' +h(x_0)$

Caso 1: $I=0$. Entonces $h$ es una función periódica de período $T$.

Caso 2: $I\neq 0$. Entonces considera la función $g=h'-I/T$. $g$ también es periódica de período $T$ y la integral de $g$ sobre su período es $0$. Estamos de vuelta en el caso 1. Entonces descubrirás que $a=I/T$ y cualquier constante de integración puede ir en $f(u)$.