Ecuación de Legendre

Question

Desde Apostol del Cálculo, Vol. II, Sección 6.21 #3:

El Legendre ecuación puede escribirse en la forma $$\left[(x^2 -1)y'\right]'-\alpha(\alpha+1)y=0\,,$$ donde $\alpha\in\mathbb R$. Si $a, b, c$ son constantes con a$a>b$$4c+1>0$, muestre que la ecuación diferencial del tipo de $$\left[(x-a)(x-b)y'\right]'-cy=0$$ se puede transformar a una ecuación de Legendre mediante un cambio de variable de la forma $x=At+B$ donde $A>0$. Determinar el $A$ $B$ interms de $a$$b$.

Es fácil determinar $A=\frac {a-b} 2$, e $B=\frac {a+b} 2$ (lo cual está de acuerdo con la respuesta proporcionada por el libro), y se puede encontrar que esto da lugar a la ecuación $$\left[(A^2t^2-A^2)y'\right]'-cy=0\implies\left[(t^2-1)y'\right]'-\frac c {A^2} y =0$$ Para finalizar la prueba de que esto puede ser considerado como una ecuación de Legendre, debemos mostrar que $\exists \alpha\in \mathbb R$ tal que $\alpha(\alpha+1)=\frac c {A^2}$, sin embargo en la resolución de este nos encontramos con que $\alpha = \frac 1 2 \left(-1 \pm \sqrt{1+4\frac c {A^2}}\right)$. La condición de $4c+1>0$ no es suficiente para garantizar que la $\alpha\in\mathbb R$. Por ejemplo, podríamos tomar $a=\frac 1 4$, $b=0$, y $c=-\frac 1 8$.

¿Me equivoco, o bien la condición en lugar de ser $16c + (a-b)^2>0$?

Answer 1

$x=At+B$ Y la regla de la cadena tenemos

$$\frac{d}{dx}(\cdot)=\frac{\frac{d}{dt}(\cdot)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{A}\frac{d}{dt}(\cdot).$$

Por lo tanto

$$\frac{d}{dx}\left[(x-a)(x-b)\frac{d}{dx}y\right]=\frac{1}{A}\frac{d}{dt}\left[A^2(t^2-1)\frac{1}{A}\frac{d}{dt}y\right]=\left[(t^2-1)y\,'\right]'$$

y la ecuación diferencial se transforma correctamente.