¿Es el máximo unramified extensión con una elevación del campo de residuo fijado bajo automorphism?

Question

Deje $(K,v)$ ser valorado campo (no necesariamente discreto, además, el valor de las necesidades de los grupos no ser un subgrupo de $\mathbb R$) y $char(K)=char(Kv)$ donde $Kv$ es el residuo de campo. Deje $(F,w)$ ser la máxima unramified extensión.

1. Es cierto que cualquier automorphism de la separables cierre de $K^{sep}$ $K$ $K$ corrige $F$ setwise?
2. Supongamos que $K_0$, e $F_0$ son las elevaciones de los residuos correspondiente campos. Es cierto que $F=KF_0$ y que cualquier automorphism de la separables cierre de $K^{sep}$ por encima de correcciones $F_0$?

Answer 1

Yo tengo una respuesta ahora. Yo más o menos tenía este argumento en mente, pero no estaba seguro, pero ahora soy yo (con la ayuda de un amigo).

Sin más preámbulos, aquí está el esquema del argumento.

La primera pregunta es, básicamente, diciendo la máxima unramified extension es una extensión de Galois. Esto es (como traído a mi atención) es bien conocida.

Para la segunda parte, vamos a $L/K_0$ ser finito subextension de $F_0$. A continuación, $KL$ tiene el residuo de campo $L$, y es un unramified extensión. También se $L$ es relativamente algebraicamente cerrado en $KL$. Entonces cualquier automorphism de $KL$ $K$ debe arreglar $L$. Desde $F_0$ es algebraico sobre $L_0$, el resultado sigue teniendo los sindicatos sobre tales finito extensiones.