Calcular la integral triple

Question

Compute $$\iiint\limits_{x^2+y^2+(z-2)^2\leq1}\frac{dx\,dy\,dz}{x^2+y^2+z^2}$$

Intenté convertirlo a coordenadas esféricas y obtuve $$\iiint \sin\theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$$

Sin embargo, no sé cómo encontrar los límites del nuevo dominio, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Cambia las coordenadas dejando que $z'=z-2$ . Entonces, tenemos

$$\begin{align} \iiint_{x^2+y^2+(z-2)^2\le 1} \frac{1}{x^2+y^2+z^2}\,dx\,dy\,dz&=\iiint_{x^2+y^2+z^2\le 1} \frac{1}{x^2+y^2+(z+2)^2}\,dx\,dy\,dz\\\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \frac{r^2\sin(\theta)}{r^2+4r\cos(\theta)+4}\,dr\,d\theta\,d\phi \\\\ &=2\pi\int_0^1 \int_0^\pi\frac{r^2\sin(\theta)}{r^2+4r\cos(\theta)+4}\,d\theta\,dr \tag 1\\\\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^1 r \log\left(\frac{(r+2)^2}{(r-2)^2}\right)\,dr \tag 2 \end{align}$$

¿Puedes terminar ya?

Tenga en cuenta que al pasar de $(1)$ a $(2)$ aplicamos la sustitución $x=\cos(\theta)$ . Entonces, $dx=-\sin(\theta)\,d\theta$ y tenemos

$$\begin{align} \int_0^\pi \frac{r^2\sin(\theta)}{r^2+4r\cos(\theta)+4}\,d\theta&=r^2\int_{-1}^1 \frac{1}{r^2+4rx+4}\,dx\\\\ &=\frac{r}{4}\left.\left(\log(r^2+4rx+4)\right)\right|_{-1}^1\\\\ &=\frac{r}{4}\left(\log(r^2+4r+4)-\log(r^2-4r+4)\right)\\\\ &=\frac{r}{4}\log\left(\frac{(r+2)^2}{(r-2)^2}\right) \end{align}$$

Answer 2

Pista: Escriba

$$I=\int_1^3 \left ( \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1-(z-2)^2}\frac{dx\,dy}{x^2+y^2+z^2} \right) \, dz$$

y utilizar coordenadas polares:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1-(z-2)^2}\frac{dx\,dy}{x^2+y^2+z^2} = \iint\limits_{D_z}\frac{\rho \, d\rho \, d\theta}{\rho^2+z^2}$$ donde $D_z=\{(\rho, \theta); 0\leq \rho\leq \sqrt{1-(z-2)^2}, 0\leq \theta\leq 2\pi\}$ .