Determinante de la matriz simétrica de factorizar

Question

Dado el $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}, t \in \mathbb{R}\setminus {0}$ $b{ij} = t^{i-j}\cdot a{ij}$. Prueba $\det(A) = \det(B)$.

Primero pensé en inducción. Fácilmente puedo probar esto para $n \le 2$.

Mi hipótesis de inducción: $\det(A) = \det(B)$ $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$

Paso de inducción: $\det(B) = \sum{i=1}^{n+1} b{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(B{ij})\overset{IH}{=} \sum{i=1}^{n+1} t^{i-j} a{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A{ij})$

Hasta ahora, así que bueno, pero no parecen librarse de la exponenciación de $t$. ¿Pensamientos?

Answer 1

Deje $$ T =\begin{bmatrix}t \ & t^2\ & & \ddots\ & & & t^n\end{bmatrix} $ (y fuera de la diagonal de ceros). Entonces $$ B = TAT ^ {-1}, $$ % que $\det B=\det T\; \det A\;(\det T)^{-1}=\det A$.

Answer 2

En mi respuesta aquí doy la definición basada en permutaciones del determinante, que es equivalente a las otras definiciones estándar.

Este resultado es casi inmediato utilizando la definición basada en permutaciones.

$$\begin{align} \det(B) & = \sum_{\sigma\in Sn}(-1)^{\sigma}\prod{i=1}^nB{i,\sigma(i)}\ & = \sum{\sigma\in Sn}(-1)^{\sigma}\prod{i=1}^n(t^{i-\sigma(i)}A{i,\sigma(i)})\ & = \sum{\sigma\in Sn}(-1)^{\sigma}\prod{i=1}^nt^{i-\sigma(i)}\prod{i=1}^nA{i,\sigma(i)}\ \end {Alinee el} $$

Y $\prod_{i=1}^nt^{i-\sigma(i)}=1$, desde la suma sobre todas las $i$ $t^{\binom{n+1}{2}-\binom{n+1}{2}}=t^0=1$. Por lo tanto

$$\begin{align} \det(B) & = \sum_{\sigma\in Sn}(-1)^{\sigma}\prod{i=1}^nA_{i,\sigma(i)}\ &= \det(A) \end {Alinee el} $$