Prueba $X=(y^{2}z-x^{3}+xz^{2})\backslash\{(1,0,-1)\}$ es irreducible.

Question

Deje $X=Z(y^{2}z-x^{3}+xz^{2})\subset\mathbb{P}^{2}$$P=(1,0,-1)$. Demostrar que $X\backslash P$ es irreductible en la topología de Zariski.

Cuando char$(k)\neq 2$, yo he respondido a este problema demostrando que $y^{2}z-x^{3}+xz^{2}$ es irreducible porque $X$ es un nonsingular variedad en $\mathbb{P}^{2}$. $X\backslash P$ es un conjunto abierto de un conjunto irreducible. De dónde irreductible.

Cuando char$(k)=2$, tengo un problema debido a que $X$ tiene una singularidad en $(1,0,-1)$ y en ningún otro lugar. Así que soy incapaz de demostrar que el polinomio $y^{2}z-x^{3}+xz^{2}$ es irreductible. No tengo idea de cómo proceder a partir de aquí. Cualquier dirección o sugerencias sería genial. Gracias.

Answer 1

Puesto que ninguna energía positiva $z^k$ $z$ divide el polinomio $F(x,y,z)=y^2z-x^3+xz^2$, es irreductible, si y sólo si su dehomogenization con respecto a los $z$ F_*(x,y)=y^2-(x^3-x) es irreducible.

Ahora consideran un polinomio cuadrático en $F*y$. Es reducible, si y sólo si$x^3-x$es una plaza en$k[x]$, que obviamente no es así, como$x^3-x$tiene grado impar. Así$F*$es irreducible y por lo tanto$F$ así.