$A$ es una matriz simétrica tal que $A^4=A$. Demostrar que $A$ es idempotente

Question

<blockquote> <p>Que $A$ ser una verdadera matriz simétrica tal que $A^4=A$. Demostrar que $A$ es idempotent.</p> </blockquote> <p>He probado con valores propios y sólo inferir que los valores eigen pueden ser $0,1$. Pero yo no puedo seguir con esto.</p>

Answer 1

Sea $A=PDP^{-1}$ el eigendecomposition de la matriz dada. Entonces, puesto que la matriz diagonal de valores propios $D$ contiene sólo 0s y 1s, $D^2=D$ y $$A^2=PDP^{-1}PDP^{-1}=PD^2P^{-1}=PDP^{-1}=A

Answer 2

He aquí una prueba de que no invocar de Cayley Hamilton o eigenstructures:

Tenemos $A^4 - A = 0$. Factoring este rendimientos $$(A^2 + A + I)(A^2 - A) = 0$$ Sin embargo, podemos escribir $$A^2 + A + I = \left(A + \frac 12 I\right)^T\left(A + \frac 12 I\right) + \frac 34 I$$ Desde $A^2 + A + I$ puede ser escrito como la suma de un positivo semidefinite y positiva definida la matriz, debe ser positiva definida (y por lo tanto invertible). Por lo tanto, hemos $$(A^2 + A + I)(a^2 - A) = 0 \implica A^2 - A = 0 \implica Un^2 = A$$ Por lo tanto, $A$ es idempotente.

Answer 3

He probado a cocinar una prueba básica que no invocar directamente la eigenstructure de $A$ o de Cayley-Hamilton, etc.; aquí es lo que tengo:

si

$A^4 = A, \tag 1$

entonces

$A(A - I)(A^2 + A + I) = A(A^3 - I) = A^4 - A = 0; \tag 2$

desde

$A^T = A, \tag 3$

tenemos para cualquier vector $x$

$\langle x, Ax \rangle = \langle x, A^4 x \rangle = \langle (A^T)^2 x, A^2 x \rangle = \langle A^2 x, A^2 x \rangle \ge 0; \tag 4$

$\langle x, A^2 x \rangle = \langle A^T x, Ax \rangle = \langle Ax, Ax \rangle \ge 0; \tag 5$

así

$\langle x, (A^2 + A + I)x \rangle = \langle x, A^2 x \rangle + \langle x, Ax \rangle + \langle x, x \rangle > 0, \tag 6$

por (4), (5) y el hecho de que $\langle x, x \rangle > 0$; ahora bien, si cualquier matriz $B$ satisface

$\langle x, Bx \rangle \ne 0, \forall x, \tag 7$

a continuación, $B$ es invertible, si no,

$\exists y \ne 0, \; By = 0 \Longrightarrow \langle y, By \rangle = 0, \tag 8$

lo que contradice (7); y de aplicar esta conclusión a $A^2 + A + I$ vemos que debe ser invertible, entonces por (2) vemos que

$A^2 - A = A(A - I) = 0, \tag 9$

o

$A^2 = A. \tag{10}$

Answer 4

Le dan ese $$0 = A^4-A=(A^2-A)(A^2+A+I)$$ porque $A$ se supone que es real y simétrica, entonces el % de matriz $A^2+A+I$es real y simétrica, y sus valores propios tienen la forma $\lambda^2+\lambda +1 = (\lambda+1/2)^2+3/4 \ge 3/4.$$

$A^2+A+I$ Es invertible, que obliga a % o $A^2-A=0$ $A^2=A$.

Answer 5

Si A = 0 o A = $I_n$ ok, usted puede utilizar el teorema espectral o eingvalues, $A^4=A$ implica que el $p(x)=x^4-x$ es un múltiplo del polinomio característico del A Nota que $p(x)=x(x-1)(x^2+x+1)$ cada operador tanto tiene eingvalue real, por lo tanto el polinomio característico es con x o x-1 o x(x-1), pero por Teorema de Cayley el polinomio característico (A) = 0 así x(x-1) otra vez el teorema de Cayley $A^2-A=0$.