Conjuntos definibles en un $\aleph_0$ -estructuras categóricas y automorfismos.

Question

A continuación se relacionan los conjuntos definibles de una estructura (de primer orden) y sus automorfismos:

Proposición (véase D. Marker 'Model theory: an introduction' Prop 1.3.5) Sea $\mathcal{M}$ ser un $\mathcal{L}$ -estructura con dominio $M$ . Si $X\subset M^n$ es $A$ -definible, entonces si $\sigma$ es un automorfismo de $M$ y $\sigma(a)=a$ para todos $a\in A$ (es decir, $A$ se fija puntualmente) entonces $\sigma(X)=X$ (es decir, $X$ se fija a nivel de conjunto).

Sin embargo, lo contrario no es cierto en general (véase http://www.cantab.net/users/jonathankirby/InvitationToModelTheory_v0_3_1.pdf para un ejemplo).

Pregunta: Estoy buscando un ejemplo de que lo contrario falla cuando $\mathcal{M}$ es $\aleph_0$ -categoría. Es decir, encontrar un $\aleph_0$ -Estructura categórica $\mathcal{M}$ , $X\subset M^n$ y $A$ un subconjunto finito de $M$ tal que $X$ no es $A$ -pero que todos los automorfismos de $M$ que arreglar $A$ punto a punto, arregla $X$ a la vez.

Editar: Por ' $M$ es $\aleph_0$ -categórico' quiero decir que $M$ es la única (hasta el isomorfismo) estructura contable sobre un lenguaje contable con Th( $M$ ) $\aleph_0$ -categórico (el teoría de $M$ ).

Answer 1

No existe tal ejemplo. Una de las características que hacen $\aleph_0$ -Las estructuras categóricas son tan agradables que la invariabilidad del automorfismo es equivalente a la definibilidad.

Supongo que conoces el teorema de Ryll-Nardzewski (teorema 4.4.1 de Marker). Supongamos que $M$ es un $\aleph_0$ -estructura categórica, $A$ es un subconjunto finito de $M$ y $X\subseteq M^n$ es fijado por todos los automorfismos de $M$ que arreglar $A$ en el sentido de la palabra.

Dejemos que $a$ y $b$ sea $n$ -tuplas de $M$ . Supongamos que $a\in X$ y $\text{tp}(a/A) = \text{tp}(b/A)$ . Entonces, como $M$ es homogénea, existe un automorfismo $\sigma$ de $M$ tal que $\sigma$ fija $A$ en el sentido de la palabra y $\sigma(a) = b$ . Desde $\sigma$ fija $X$ a la vez, $b\in X$ .

Ahora dejemos que $S_X$ sea el conjunto de tipos $\{p\in S_n(A)\mid \exists a\in X\text{ satisfying }p\}$ . $S_X$ es finito (ya que $S_n(A)$ es finito), y cada tipo $p(x)\in S_n(A)$ se aísla mediante una fórmula $\psi_p(x)$ con parámetros de $A$ . Ahora debería intentar comprobar que $X$ es definible por $$\bigvee_{p\in S_X} \psi_p(x).$$

Answer 2

Esto es un comentario. Tal vez alguien puede arreglar este ejemplo y dar una respuesta total . Pueden existir ejemplos con lenguajes incontables (ya que el teorema de Ryll-Nardzewski no se aplica a estos lenguajes). Sea $\mathbb{P} \subset \mathbb{N}$ sea la colección de primos. Consideremos la estructura $(\mathbb{N}; +, \times, 0,1)$ junto con incontables predicados unarios $P_\gamma$ donde cada $\gamma \in \mathcal{P}(\mathbb{P})$ y $$\mathbb{N} \models P_\gamma(a) \iff a \in \gamma $$ Como ejercicio, se puede demostrar que esta estructura es $\aleph_0$ categórica, siendo el único modelo contable el modelo "estándar". La existencia de un elemento que realiza un tipo no principal implica la existencia de $2^{\aleph_0}$ elementos que realizan tipos no principales.

Además, $(\mathbb{N},<)$ es rígido (es decir, no tiene ningún automorfismo no trivial) y por tanto esta estructura también es rígida. Sin embargo, Cada subconjunto de la estructura que he definido anteriormente es definible (ya que el mapa de los números primos a los números naturales es definible). Por lo tanto, habría que amañar este ejemplo de arriba para que existiera un subconjunto no definible (posiblemente eliminando suficientes predicados), pero no estoy seguro de que esto sea posible...