Demostrar que si una función particular es mensurable, entonces su imagen es una línea rect

Question

I´m realmente atascado con este problema de mi tarea. Don´t tiene alguna idea, de cómo empezar.

Que $f$ ser una función, $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, que $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in\mathbb{R}$. Probar que si f es Lebesgue-medible, entonces existe un $c\in\mathbb R$, que $f(x)=cx$.

Tengo la siguiente idea, $\forall \alpha\in \mathbb R$, $f^{-1}((-\infty,\alpha))$, (donde $f^{-1}$ denota la función preimage) es medible. Y de alguna manera quiero terminar con que la imagen de tal conjunto es $(-\infty,c\alpha)$. Cualquier idea será bienvenida.

Answer 1

Si $f$ es medible su restricción es continuo en cierta medida positiva compacto conjunto de $K$. Entonces también es continuo en $f$ $K - K = {a - b : a, b \in K}$. Esto es porque si $a_n - bn$ converge a $c$, entonces algunas subsecuencias $a{nk} \rightarrow a$ y $b{n_k} \rightarrow b$ $a-b = c$. Pero $K - K$ contiene un intervalo de alrededor de cero.

Answer 2

En primer lugar probar continua asumiendo $f$:

(Demostrar que $f(\frac{p}{q}\cdot x)=\frac{p}{q}f(x)$ y utilice el hecho siguiente: $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$)

Luego tratar de probar que una función medible de aditiva debe ser acotada en algún barrio abierto de $0$ y por lo tanto continua. Aquí están los detalles.