Algunos "hechos" sobre los ángulos orientados en el espacio afín euclidiano de dimensión 2

Question

Dejemos que $\mathcal{E}^2$ sea un espacio afín euclidiano de dimensión $2$ orientado por $R=(O,B=\{u_1,u_2\}$ .

Dejemos que $$\mathcal{r}=\{P \in \mathcal{E}_2 \text{ such that } \overrightarrow{AP} \in \langle u \rangle \}$$ y $$\mathcal{s}=\{P \in \mathcal{E}_2 \text{ such that } \overrightarrow{BP} \in \langle v \rangle \}$$ sean dos líneas de $\mathcal{E}_2$ .

Dejemos que $\alpha$ sea el ángulo entre r y s y $\beta$ sea el ángulo entre $s$ y $r$ .

---

Entonces me han dado los siguientes datos (sin ninguna prueba):

1. $\alpha$ depende de la orientación de $\mathcal{E}_2$ y en la orientación recíproca de $r$ y $s$ y en el orden en que se eligen las líneas. Además, si cambia la orientación de $r$ entonces, $\alpha’ = \alpha + \pi$

2. $\alpha + \beta = 2 \pi$

3. $ \cos \alpha = \cos \beta$ y sólo depende de la orientación de $\mathcal{E}_2$ y en la orientación recíproca de las líneas

4. $|\cos \alpha |= |\cos \beta|$ depende únicamente de la orientación de $\mathcal{E}_2$ .

5. $ \cos \alpha = \cos \beta = \frac{u \cdot v}{\lVert{ u }\rVert \lVert{ v }\rVert }$ , donde $u \cdot v$ es el producto escalar de $u$ y $v$ .

Mi pregunta es:

Las afirmaciones son claras, pero las pruebas no me parecen obvias; ¿cómo se demuestran?

Answer 1

Estamos en el plano vectorial $E$ .

Primera parte. Orientación. Si $B,B'$ son dos bases de $E$ entonces $[B,B']$ sea la matriz s.t. su $i^{th}$ es la descomposición de la columna $i^{th}$ vector de $B$ en $B'$ . Consideramos la relación de equivalencia: $B\sim B'$ si $\det([B,B'])>0$ ; $\sim$ tiene dos clases, es decir, las posibles $2$ orientaciones de $E$ . Según la definición, si $\{u,v\}\sim B'$ entonces $\{-u,v\}\not \sim B'$ y $\{v,u\}\not \sim B'$ .

Segunda parte. Si definimos un producto escalar sobre $E$ entonces el grupo ortogonal está definido y podemos definir una base ortonormal $B$ de $E$ . Ahora podemos definir el ángulo $(u,v)$ entre $2$ vectores unitarios $u,v$ : $(u,v)=\mathcal{O}$ , $\mathcal{O}\in O^+(2)$ satisface $\mathcal{O}u=v$ (tales como $\mathcal{O}\in O^+(2)$ es única y, además, su matriz asociada $O$ sólo dependen de la orientación de la base elegida $B$ ). Hay $\theta\in\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ s.t. $O=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$ . Utilizamos la notación $(u,v)=O_{\theta}$ ; tenga en cuenta que $O_{\alpha}\circ O_{\beta}=O_{\alpha+\beta}$ .

Si $(u,v)=O_{\theta}$ entonces $(v,u)={O_{\theta}}^{-1}=O_{-\theta}$ , $(-u,v)=O_{\theta} \circ O_{\pi}=O_{\theta+\pi}$ .

Supongamos que elegimos otra orientación para $E$ equivale a decir que en $B=[x,y]$ cambiamos $x$ con $-x$ . Entonces la matriz asociada a $\mathcal{O}$ se convierte en $\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\-\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$ es decir $O_{-\theta}$ .

Sobre el producto escalar, $<u,v>=<u,O_{\theta}u>=<x,O_{\theta}x>=\cos(\theta)$ . Y si $u,v$ no son unitarios, entonces $<u,v>=||u||||v||<\dfrac{u}{||u||},\dfrac{v}{||v||}>$ .