Evaluar: $\frac{1}{(1+1)!} + \frac{2}{(2+1)!}+...+\frac{n}{(n+1)!}$ utilizando combinatoria.

Question

Evaluar $\frac{1}{(1+1)!} + \frac{2}{(2+1)!}+...+\frac{n}{(n+1)!}$. Se trata de un libro de combinatoria así que me gustaría una prueba combinatoria. Creo que haciendo este tipo de problemas difíciles, especialmente cuando usted tiene en definitiva - no sé cómo construir una analogía razonable usando el principio de adición.

Pregunta similar que aparece justo antes de esta cuestión en el texto: suma de la serie con combinatoria problema

Answer 1

Considere la posibilidad de un uniformemente al azar seleccionado permutación de $\{1,2,\dots,n,n+1\}$.

La probabilidad de que $2$ aparece antes de $1$ $\frac{1}{(1+1)!}$

Dado que esto no ocurra, a continuación, $1$ $2$ aparecen en el orden correcto. La probabilidad de continuación, que $3$ aparece antes de que al menos uno de $2$ o $1$ $1$ $2$ aparecen en el orden correcto es $\frac{2}{(2+1)!}$.

Dado que esto no ocurra, a continuación, $1,2,3$ todos aparecen en el orden correcto. La probabilidad de continuación, que $4$ aparece antes de, al menos, en de $3,2,1$ $1,2,3$ todos los que aparecen en el orden correcto es $\frac{3}{(3+1)!}$...

...

Dado que esto no ocurra, a continuación, $1,2,3,\dots,n$ todos aparecen en el orden correcto. La probabilidad de continuación, que $n+1$ aparece antes de que al menos uno de $n,n-1,\dots,3,2,1$ $1,2,3\dots,n$ todos aparecen en el orden correcto es $\frac{n}{(n+1)!}$

Dado que esto no ocurra, a continuación, $1,2,3,\dots,n,n+1$ todos aparecen en el orden correcto. Esto ocurre con probabilidad de $\frac{1}{(n+1)!}$

Tenga en cuenta que todas estas son mutuamente excluyentes y exhaustivas de los eventos, así que se suman a la igualdad de $1$. Nota, además, que la suma que le interesa es la suma de todos los eventos, excepto la última. Tenemos a continuación

$$\frac{1}{(1+1)!}+\frac{2}{(2+1)!}+\dots+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}$$

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Se reformula, multiplicando la expresión por $(n+1)!$, considere la posibilidad de la partición de las permutaciones de $\{1,2,\dots,n+1\}$ basado en el menor número $k$ tal que $1,2,\dots,k$ aparecen fuera de orden.

Es decir, si $k$ es el menor número tal que $1,2,\dots,k$ aparecen fuera de orden, a continuación, $1,2,\dots,k-1$ deben aparecer en el orden mientras se $k$ no aparece después de $1,2,\dots,k-1$. Para contar el número de permutaciones de satisfacer esta condición primera selección de los espacios que $1,2,\dots,k-1,k$ ocupar simultáneamente y, a continuación, elegir cuál de esas posiciones $k$ ocupa señalar que ésta no puede ser la última. $1,2,\dots,k-1$ aparecen en su orden normal en el resto de las posiciones seleccionadas. A continuación, todos los demás elementos se distribuyen entre los otros espacios. Esto ocurre en

$$\binom{n+1}{k}(k-1)(n+1-k)!=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}(k-1)(n+1-k)!=\frac{k-1}{k!}(n+1)!$$

lo que usted debe reconocer como el seguimiento de la secuencia $0,\frac{1}{2!},\frac{2}{3!},\frac{3}{4!},\frac{4}{5!},\dots$ con el factor adicional de $(n+1)!$ que hemos introducido en la anterior, de lo contrario, la imitación de la suma deseada.

Incluyendo también los casos adicionales de la identidad de permutación, la anterior forma una partición de las permutaciones de $\{1,2,\dots,n+1\}$. De ello se sigue que sus respectivos totales suman a $(n+1)!$.

Mediante la eliminación de la identidad de permutación así como dividir por el factor de $(n+1)!$ que hemos introducido, esto produce el deseo de identidad

$$\frac{1}{(1+1)!}+\frac{2}{(2+1)!}+\dots+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}$$

Answer 2

<h1>Solución</h1> <p>Observe % $ $$\frac{k}{(k+1)!}=\frac{(k+1)-1}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$</p> <p>Por lo tanto, $$\sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}=\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)=1-\frac{1}{(n+1)!}.$ $</p>

Answer 3

El uso de funciones de generación, que son ampliamente utilizados en la combinatoria: $$a_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)!}$$ que es el mismo que $$a_n=a_{n-1}+\frac{n}{(n+1)!}$$ con la generación de la función $$f(x)=\sum\limits_{n}\color{red}{a_n}x^n =a_0+\sum\limits_{n=1}\left(a_{n-1}+\frac{n}{(n+1)!}\right)x^n=\\ a_0+x\sum\limits_{n=1}a_{n-1}x^{n-1}+\sum\limits_{n=1}\frac{n}{(n+1)!}x^n=\\ a_0+xf(x)+\sum\limits_{n=1}\frac{n+1}{(n+1)!}x^n-\sum\limits_{n=1}\frac{1}{(n+1)!}x^n=\\ a_0+xf(x)+\left(\sum\limits_{n=1}\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}\right)'-\frac{1}{x}\sum\limits_{n=1}\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}=\\ a_0+xf(x)+\left(e^x-1-x\right)'-\frac{1}{x}\left(e^x-1-x\right)=\\ a_0+xf(x)+e^x-\frac{1}{x}\left(e^x-1\right)$$ o $$f(x)=\frac{a_0}{1-x}+\frac{e^x}{1-x}-\frac{e^x-1}{x(1-x)}$$ desde $a_0=0$ $$f(x)=\frac{e^x}{1-x}-\frac{e^x-1}{x(1-x)}=\frac{1}{(1-x)x}-\frac{e^x}{x}=\\ \frac{1}{x}\left(\sum\limits_{n=0}x^n - \sum\limits_{n=0}\frac{x^n}{n!}\right)=\sum\limits_{n=1}\color{red}{\left(1-\frac{1}{(n+1)!}\right)}x^{n}$$ como resultado $$a_n=1-\frac{1}{(n+1)!}, n\geq1$$