Diferencial de una función suave sobre un colector

Question

En el libro que estoy utilizando, el autor define las diferenciales de la siguiente manera. Dadas las variedades lisas $M,N$ y una cartografía suave $\psi:M\to N$ definir el diferencial $d\psi_m$ en un punto $m\in M$ como el siguiente mapeo lineal: ( $M_n$ denota el espacio tangente en n, definido aquí como el espacio de las derivaciones lineales en los gérmenes de $m$ ) $$ d\psi_m:M_m\to N_{\psi(m)} $$ con $d\psi_m(v)g:=v(g\circ\psi)$ para los gérmenes $g$ en $\psi(m)$ .

Si $N=\Bbb R,\,\,\,\,\,d\psi(v)=v(\psi)\frac{d}{dx}|_{\psi(m)}$ que se "identifica" con el dual de $d\psi_m$ evaluado en el vector dual de $\frac{d}{dx}|_{\psi(m)}$ , a saber $d\psi_m(v)=v(f)$ . ¿Por qué podemos identificarlos?

Answer 1

En general, el diferencial mapea cada espacio tangente de $M$ linealmente en el espacio tangente apropiado de $N$ . Pero cuando $N=\mathbb R$ cada espacio tangente $N_{\psi(m)}$ es canónicamente isomorfo (como espacio vectorial) a $\mathbb R$ a través del mapa $a\frac{\partial}{\partial x}_{\big| x=\psi(m)} \mapsto a$ . Cuando dos objetos son canónicamente isomorfos entre sí, podemos pensar que son iguales, siempre y cuando consideremos sólo las estructuras cubiertas por la noción de isomorfismo en cuestión. Por lo tanto, podemos pensar en $d\psi_m$ como un mapa lineal de $M_m$ a $\mathbb R$ .

Por otro lado, ya tenemos un mapa lineal de $M_m$ a $\mathbb R$ - la evaluación de los vectores tangentes en $\psi$ , a saber $v\mapsto v(\psi)$ . Si nos fijamos en la definición de $d\psi_m$ de nuevo, nos damos cuenta de que es el mismo mapa. Así que... mucho ruido y pocas nueces, en realidad.