¿Cómo es el producto $L\cdot S$ entre orbital y los operadores de momento angular de spin definidos? ¿Actúan en los espacios de Hilbert de igual o diferentes?

Question

¿Para un electrón, son los espacios de Hilbert para el momento angular de spin y el ímpetu angular orbital lo mismo o son diferentes? Si son diferentes, ¿cómo justificamos el operador $L\cdot S$ acoplador de la hacer girar-órbita?

También para el acoplamiento de 2 vueltas, ¿qué es el Hilbert espacio estudiando? ¿Es $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ como creo que debe ser o no? Si su lo que creo que debería ser, ¿cuál es el significado del operador $S_1\cdot S_2$?

Answer 1

Por tanto las situaciones en las que estamos considerando, los espacios vectoriales son diferentes, y la articulación de espacio de estado es el producto tensor del individuo espacios vectoriales.

Para describir los operadores en este espacio, simplemente debemos utilizar el producto tensor de operadores: si $\hat{L}_z:\mathcal H_\mathrm{orb} \to \mathcal H_\mathrm{orb}$$\hat{S}_z:\mathcal H_\mathrm{spin} \to \mathcal H_\mathrm{spin}$, entonces su producto tensor $$\hat{L}_z\otimes \hat{S}_z:\mathcal H_\mathrm{orbe}\otimes \mathcal H_\mathrm{spin} \\mathcal H_\mathrm{orbe} \otimes \mathcal H_\mathrm{spin}$$ está definida de forma única por su acción sobre el producto de los estados $$(\hat{L}_z\otimes \hat{S}_z)|\psi⟩\otimes |\phi⟩ = (\hat{L}_z|\psi⟩)\otimes (\hat{S}_z|\phi⟩)$$ y por linealidad.

En la parte superior de la estructura, a menudo consideramos el vector de operaciones en el vector de caracteres de los operadores, incluyendo, en particular, su producto escalar $$\hat{\mathbf{L}} \stackrel{\otimes}{\cdot} \hat{\mathbf{S}} = \sum_{j=1}^3 \hat{L}_j\otimes \hat{S}_j.$$ Este es un legítimo producto escalar en que uno puede demostrar que no depende de la base respecto a la cual los componentes se toman, ya que cada componente se transforma como un vector, y así, la prueba usual de técnicas todavía se aplican.

Ahora, en la práctica, normalmente, nos caída de la explícita-tensor de producto de marcas de $\otimes$ menos que realmente necesita la claridad, debido a que la estructura suele ser claro a partir del contexto (de manera que un producto como $\hat{L}_z\hat{S}_z$ es generalmente de forma inequívoca) y el explícito marcas agregar anotación a granel y por lo tanto hacer que todo sea más difícil de leer. Por lo tanto, lo que normalmente se ve es la notación de la forma $$\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}} = \sum_{j=1}^3 \hat{L}_j \hat{S}_j.$$ en el que el tensor de productos entre los operadores que actúan en diferentes sectores del espacio de estado son implícitas.