¿Es$k[x,y]/\langle y-x^2\rangle = k[x,x^2]/\langle x^2-x^2\rangle = k[x,x^2] = k[x]$ un argumento válido?

Question

Pido disculpas por mis limitados conocimientos de álgebra.

Yo previamente le preguntó por qué polinomio anillos de $k[x,y]/\langle y-x^2\rangle$ $k[x]$ $k$ un campo son isomorfos. Me encontré con un relacionados con la respuesta donde la aceptó responder a utilizar una adecuada sustitución de realizar el ideal de cero y por lo tanto obtener una descripción del cociente del anillo.

En el presente caso la adecuada sustitución sería $y=x^2$ como el ideal $\langle y-x^2\rangle$ estamos tomando el cociente contra desaparece en virtud de que la sustitución. ¿Este tipo de cosa de la obra en general? Considere la posibilidad de un cociente $$ k[x_1, \dots, x_n] / \langle f_1, \dots, f_m \rangle, $$ con $f_1, \dots, f_m \in k[x_1, \dots, x_n]$. Supongamos que somos capaces de encontrar sustituciones $x_i = g_i(y_1, \dots, y_r)$ en términos de $1 \leq r < n$ libre de parámetros $y_i$ de manera tal que cada polinomio $f_i$ se desvanece. ¿Que implica el isomorfismo $$ k[x_1, \dots, x_n] / \langle f_1, \dots, f_m \rangle \simeq k[x_1, \dots, x_r]? $$

Answer 1

Querías decir $x_i=g_i(x_1,x_2,\ldots,x_r)$? Aun así, la respuesta es definitivamente no . Incluso si tiene tales sustituciones, no puede concluir que $ k [x_1, \ dots, x_n] / \ langle f_1, \ dots, f_m \ rangle \ cong k [x_1, \ dots, x_r]$. For example, $ k [ x, y] / \ langle x ^ 2-y ^ 2 \ rangle$ is not isomorphic as a ring to $ k [x]$ even if you have a substitution $ y = x$ that kills $ x ^ 2-y ^ 2 $.

Sin embargo, si tiene polinomios$f_i$ y$g_i$ para$i=1,2,\ldots,n-r$ tales que$$f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_{r+i}-g_i(x_1,x_2,\ldots,x_r)$ $ o$$f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_{r+i}-g_i(x_1,x_2,\ldots,x_{r+i-1})\,,$ $, la respuesta es sí , a saber,$$k[x_1,x_2,\ldots,x_n]/\langle f_1,f_2,\ldots,f_{n-r}\rangle \cong k[x_1,x_2,\ldots,x_r]\,.$ $ Este es el caso con su problema original.

Answer 2

En general, si usted tiene una substitución $x_i = g_i(y_1,...,y_r)$, lo que significa en realidad es que no es un polinomio de mapa de $G:k^r\to k^n$ tal que $f_1\circ G=\cdots =f_m \circ G =0$

A continuación, considere la posibilidad de la inducción de anillo homomorphism $k[x_1,...,x_n] \to k[y_1,...,y_r]$$f\mapsto f\circ G$. El núcleo de este mapa incluye $\langle f_1,...,f_m\rangle$, pero no es necesariamente igual a él. Si el núcleo es igual a la ideal, entonces tuvo su isomorfismo. Como @Batominovski señalado, aunque la sustitución de $x=a, y=a$ eliminatea $x^2 - y^2$, $\langle x^2 - y^2\rangle$ no es el núcleo de el mapa de $k[x, y] \to k[a]$$x\mapsto a$$y\mapsto a$. Así que no tenemos un isomorfismo aquí.

Una condición suficiente (como se ve en los ejemplos que usted siempre) es que, si el ideal es de la forma $\langle x_2 - f_2(x_1),..., x_n - f_n(x_1) \rangle$. Pero no estoy seguro de lo que sería la condición necesaria para que el kernel sea exactamente igual a la ideal.

Answer 3

Aquí es muy útil, de hecho:

Dado un anillo conmutativo $R$, y deje $r\in R$, $$R[x]/(x-r) \cong R.$$ Tenga en cuenta que en el ideal de $(x-r)$, el coeficiente de $x$ debe ser 1.

Es útil debido a que sólo se requieren $R$ a un anillo conmutativo. En el primer ejemplo, podemos tomar $R=k[y]$, luego tenemos $$k[y][x]/(x-y_2) \cong k[y].$$ Y usted puede ver fácilmente cuando se podría aplicar esto para el caso más general $k[x_1, \cdots, x_n]$ cociente de algún polinomio: coeficiente de una de las variables 1.

Prueba: se define un mapa

$$\phi:R[x] \rightarrow R\\ \;x\mapsto r.$$

Es claramente dentro, sólo tenemos que mostrar el $\ker \phi = (x-r)$. Deje $p(x)\in \ker\phi$, porque en $x-r$ el coeficiente de $x$ $1$ , no hay nada que impida utilizar el algoritmo de la división para reescribir $p(x) = (x-r)g(x) + q$, para obtener esta fórmula, sólo tenemos que realizar la división larga método que hemos aprendido en la escuela secundaria. Ahora está claro, $q$ debe ser cero para $p(x)$ a estar en el kernel, por lo tanto, por el Teorema de Isomorfismo, tenemos $$R = Img(\phi) \cong R[x]/\ker\phi = R[x]/(x-r).$$