¿Cómo puedo probar que $f:A_{n+1}\times \prod_{i\in I_n}A_i\to\prod_{i\in I_{n+1}}A_i$ es biyectiva?

Question

El producto cartesiano de una familia de $(A_i\mid i\in I)$ se define como $$\prod_{i\in I}A_i=\{f:I\to\bigcup A_i\mid f(i)\in A_i\}$$

Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema. Mientras que yo soy capaz de construir una asignación que desee y de manera intuitiva se ha encontrado que es un bijection, yo soy incapaz de demostrar que esta asignación es en realidad bijective en una prueba formal. También he encontrado que es más fácil utilizar la definición de producto cartesiano de n-matriz, pero me gustaría usar la definición de producto cartesiano como una función.

Deje $I_{n+1} = \{i\in\mathbb N\mid 1\leq i\leq n+1\}$ $(A_i\mid i\in I_{n+1})$ ser una familia finita de conjuntos. A continuación, $|A_{n+1}\times\prod_{i\in I_n}A_i|=|\prod_{i\in I_{n+1}}A_i|$ donde $|X|$ es la cardinalidad de a $X$.

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En primer lugar, generamos una familia indizada de conjuntos de $(B_i\mid i\in I_2)$ como sigue:$B_1=A_{n+1}$$B_2=\prod_{i\in I_n}A_i$. A continuación, se construye un mapeo $f:B_1\times B_2\to\prod_{i\in I_{n+1}}A_i$ tal que $\{(0,b_1),(1,b_2)\}\mapsto \{(n+1,b_1)\cup b_2\}$ donde $b_1\in B_1=A_{n+1},b_2\in B_2=\prod_{i\in I_n}A_i$.

¿Cómo puedo proceder para demostrar que $f$ es bijective?

Answer 1

Tener en cuenta

$$\begin {array}{l|rcl} f : & A{n+1}\times\prod\limits{i\in I_{n}}Ai & \longrightarrow & \prod\limits{i\in I_{n+1}}A_i \ & \phi & \longmapsto & f(\phi) \end{matriz} $$

donde $\phi: {1,2} \to A{n+1} \bigcup \prod\limits{i\in I_{n}}Ai$ $\phi(1) \in A{n+1}$ y $\phi(2) \in \prod\limits{i\in I{n}}A_i$.

$f(\phi)$ es definido por $f(\phi)(i) $= \begin{cases}\phi(1) & \text{ if } i=n+1\ \phi(2)(i) & \text{ if } i \in I_n \end{casos} $$

$f$ es sobreyectiva

Para definir de $\psi \in \prod\limits{i\in I{n+1}}Ai$ $\phi \in A{n+1}\times\prod\limits{i\in I{n}}A_i$ por \phi(i) $$ =\begin{cases}\psi(n+1) & \text{ if } i=1\ \phi(2) & \text{ if } i =2 \end{casos} $$ donde $\phi(2)(j)=\psi(j)$ $j \in In$. $\phi(2)$ es un mapa que pertenece a $\prod\limits{i\in I_{n}}A_i$. A verificar que $f(\phi)=\psi$ demostrando que $f$ es sobreyectiva.

$f$ es inyectiva

Esto es una verificación fácil que $\phi_1=\phi_2$ $f(\phi_1)=f(\phi_2)$.

Answer 2

Esto es una prueba de por mathcounterexamples.net pero me gustaría añadir todos los detalles para asegurarse de que realmente me entiende. Todos los créditos van a mathcounterexamples.net.

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Podemos definir la asignación de $f$ como sigue $$\begin {array}{l|rcl} f : & A_{n+1}\times\prod\limits_{i\in I_{n}}A_i & \longrightarrow & \prod\limits_{i\in I_{n+1}}A_i \\ & \phi & \longmapsto & f(\phi) \end{array}$$

donde $\phi:\{1,2\}\to A_{n+1}\bigcup\prod\limits_{i\in I_{n}}A_i$ tal que $\phi(1)\in A_{n+1}$$\phi(2)\in\prod\limits_{i\in I_{n}}A_i$.

Definimos $f(\phi)$${f(\phi)|}_{I_n}=\phi(2)$$f(\phi)(n+1)=\phi(1)$.

1. $f$ es surjective

Para $\psi\in\prod\limits_{i\in I_{n}}A_i$, definimos $\phi\in A_{n+1}\times\prod\limits_{i\in I_{n}}A_i$$\phi(1):=\psi(n+1)$$\phi(2):={\psi|}_{I_n}$. A continuación nos demuestran $f(\phi)=\psi$. Tenemos ${f(\phi)|}_{I_n}\overset{(1)}{=}\phi(2)\overset{(2)}{=}{\psi|}_{I_n}$$f(\phi)(n+1)\overset{(3)}{=}\phi(1)\overset{(4)}{=}\psi(n+1)$. Por lo tanto $f(\phi)=\psi$, y, en consecuencia, $f$ es surjective.

(1) Por la definición de $f(\phi)$

(2) Por la definición de $\phi(2)$

(3) Por la definición de $f(\phi)$

(4) Por la definición de $\phi(1)$

2. $f$ es inyectiva

Para$\phi_1,\phi_2\in A_{n+1}\times\prod\limits_{i\in I_{n}}A_i$$f(\phi_1)=f(\phi_2)$, $f(\phi_1)(i)=f(\phi_2)(i)$ todos los $i\in I_{n+1}$,${f(\phi_1)|}_{I_n}={f(\phi_2)|}_{I_n}$$f(\phi_1)(n+1)=f(\phi_2)(n+1)$,$\phi_1(2)=\phi_2(2)$$\phi_1(1)=\phi_2(1)$. Por lo tanto $\phi_1=\phi_2$. Por lo tanto $f$ es inyectiva.