Si $F\subset D \subset E$ $D$ debe ser un campo

Question

Deje $F$ a un campo y $E$ de un número finito de extensión de $F$. Necesito mostrar que, si $D$ es una integral de dominio tal que $F\subset D\subset E$, entonces, D es un campo.

Mi intento: Como $E$ es una extensión finita, es una extensión algebraica. Deje $\alpha\in D$, es suficiente para mostrar que cada elemento de a $D$ tiene una inversa. Así que, tome $\alpha\in D$ $\alpha$ es algebraico sobre $F$. Supongamos que $\deg(\alpha,F)=n$, entonces cada elemento de a $F(\alpha)$ puede ser escrito como $a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}$ donde $a_i\in F$. Por lo tanto, $F(\alpha)\subset D$ y $F(\alpha)$ es un campo que contiene la inversa de a $\alpha$.

Tengo problemas con mi prueba porque no veo donde el hecho de que $D$ es la integral de dominio es importante.

Answer 1

$D$ es un finito-dimensional espacio del vector encima $F$. Si $a\in D$, $a\ne0$ en cuenta el mapa $\mu_a:D\to D$ definidas en $\mu_a(x)=ax$. Entonces un $\mu_a$ $F$-mapa lineal. Su núcleo es cero, por lo que su imagen es de $D$, por la fórmula de la fila de la nulidad. Hay $b\in D$ $\mu_a(b)=1$, $ab=1$.

Answer 2

Tomar

$0 \ne \alpha \in D, \tag 1$

y vamos a

$m(x) \in F[x] \tag 2$

sea el polinomio mínimo de a$\alpha$$F$; escritura

$m(x) = \displaystyle \sum_0^t m_i x^i, \; m_i \in F, 0 \le i \le t, \tag 3$

Yo reclamo que

$m_0 \ne 0; \tag 4$

de lo contrario, podríamos escribir

$m(x) = \displaystyle \sum_1^t m_i x^i = x \sum_1^t m_i x^{i - 1}; \tag 5$

desde

$m(\alpha) = 0, \tag 6$

tenemos

$\alpha \displaystyle \sum_1^t m_i \alpha^{i - 1} = 0; \tag 7$

desde $\alpha \ne 0$, e $D$ es una integral de dominio, llegamos a la conclusión de que

$\displaystyle \sum_1^t m_i \alpha^{i - 1} = 0; \tag 8$

dado que el grado del polinomio $\sum_1^t m_i x^{i - 1}$$t - 1$, (8) contradice la minimality de $m(x)$; así vemos que

$m_0 \ne 0, \tag 9$

lo que nos permite escribir

$\alpha \displaystyle \sum_1^t m_i \alpha^{i - 1} = -m_0 \ne 0; \tag{10}$

esto demuestra que

$\alpha^{-1} = -m_0^{-1}\displaystyle \sum_1^t m_i \alpha^{i - 1} \in D, \tag{11}$

por lo tanto $D$ es un campo.

Answer 3

Bien cada anillo de un campo es un dominio integral de todos modos.