Integral de $\log(1-x^t)$ con respecto a los $t$

Question

Necesito ayuda con la integral siguiente:

$$f(x) = \int_2^\infty \log (1-x^t) dt ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ |x|

Me gustaría obtener una forma cerrada o algo similar (que parece ser imposible), pero cualquier otro tipo de expresión equivalente exacto para trabajar con sería genial.

Haciendo un cambio de variables no parece ayudar mucho. También trató de evaluar como un complejo integral, pero no es el más fácil de trabajar con el camino de la integración $[2, \infty)$.

Cualquier idea será bienvenida. Gracias en ventaja.

Answer 1

Por la $u=x^t$, de sustitución % $$ \begin{align} \int \ln(1-x^t)dt & =\frac1{\ln x}\int \frac{\ln(1-u)}{u}du\ & =\frac1{\ln x}\int \frac{-\text{Li}_1(u)}udu\ &=-\frac{\text{Li}_2(u)}{\ln x}+C\ &=-\frac{\text{Li}_2x^t}{\ln x}+C\ \end{Alinee el} $$

Aplicación de los límites, obtiene un %#% $ #%

La expresión tiene un valor con una agradable forma cerrada especial $$\color{red}{\int^\infty_2\ln(1-x^t)dt=\frac{\operatorname{Li}_2 x^2}{\ln x}}$:

$x$$ $$\int^\infty_2\ln(1-\sqrt 2^{-t})dt=-\frac{\pi^2}{6\ln 2}+\ln 2$$ $$\int^\infty_2\ln(1-(\sqrt\phi^{-1})^t)dt=-\frac{\pi^2}{5\ln\phi}+2\ln\phi$$

Además, hay un límite de interés: $$\int^\infty_2\ln(1-{\phi}^{-t})dt=-\frac{\pi^2}{15\ln\phi}+\ln\phi$ $