¿Cuál es la forma más simple de definir rigurosamente la división (por qué funciona el algoritmo estándar)?

Question

Me he vuelto muy nervioso si me sorprendo haciendo un proceso sin realmente entender cómo funciona. Bien, uno de estos procesos es el de la división. En la escuela primaria, aprendí la técnica de división (en papel), pero sin llegar nunca a entender el por qué de este "número " barajando" de la mina trabajado.

Recientemente, tuve una intuición en él cuando me enteré de la técnica de la división de polinomios. Por ejemplo, algo como

$$(x^3 + 6x^2 + 3x - 8) : (x^2 + x - 2) = x + 5; \quad 2 \text{ remains.}$$

O en el formulario estándar para la división de polinomios $p(x) = k(x)q(x) + r$:

$$(x^3 + 6x^2 + 3x - 8) = (x + 5)(x^2 + x - 2) + 2.$$

La idea es dividir a la "primera parte" de $p(x)$ y se divide por la "primera parte" de $q(x)$ ($x^3 : x^2 = x$), y adquirir la "primera parte" de $k(x)$. A continuación, multiplique el conjunto de la $q(x)$ con esta "parte", resta que de $p(x)$ y repita el proceso hasta llegar a $r$.

Dado cualquier número real, teóricamente, puede ser expresado como

$$a_na_{n-1}\cdots a_0,a_{-1}\dots = a_n \cdot 10^n + \cdots + a_0 \cdot 10^0 + a_{-1} \cdot 10^{-1} +\cdots,$$

Pensé para mí mismo: "Hmmm, estos polinomios simplemente aspecto más maneras de escribir los números en base $n$ ($n$ ser $x$ en este caso)." Así que pensé que me gustaría utilizar el mismo "método de la división" en la normal de números enteros. Y descubrí algo que me sorprendió.

Mi elección fue $903:12 = 75.25$. Bien, esta es la forma en que se fue:

$$(9 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0) : (1 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0) = 9 \cdot 10^1 - 18 \cdot 10^0 + 39 \cdot 10^{-1} - 78 \cdot 10^{-2} \cdots.$$

Lo que me desconcertó es que este infinito polinomio en realidad nunca llega a $75.25$, pero los enfoques . Yo no soy aficionado a la serie infinita, pero mi conjetura es que, después de infinitas iteraciones, el resultado finalmente sería exactamente $75.25$. Bueno, en mi caso (4 iteraciones), el resultado es $75.12$, que no es ya demasiado cutre. Sospecho que este tipo de "límite de la división" podría ser expresada como una suma infinita. Si usted sabe cómo escribir una abajo, por favor, hacerlo.

Hice esta "investigación personal" (y descubrió algo increíble que voy a atesorar para siempre) para entender mejor cómo la división realmente funciona, pero yo no. Todavía no entiendo.

Por favor, rigurosamente definir la división, así que por fin puedo estar tranquilo. Gracias!

Answer 1

Se puede comprender el algoritmo de la división mejor mediante el uso de igualdad simple:

$$\frac{x^3+6x^2+3x-8}{x^2+x-2}$$ $$= \frac{(x^3+6x^2+3x-8)-(x^2+x-2)x}{x^2+x-2}+\frac{(x^2+x-2)x}{x^2+x-2}$$ $$= \frac{5x^2+5x-8}{x^2+x-2}+x$$

Nos elegí específicamente $x$ a sumar y restar de la expresión, así como a cancelar la $x^3$ a la izquierda. El objetivo del algoritmo es reducir el grado de $p(x)$, finalmente, a un menor grado de $q(x)$.

Deje $p(x) = p_mx^m+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots+p_1x+p_0$,

y $q(x) = q_nx^n+q_{n-1}x^{n-1}+\cdots+q_1x+q_0$,

con $m \geq n$$p_m\neq0\neq q_n$. Entonces

$$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p_mx^m+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots+p_0}{q_nx^n+q_{n-1}x^{n-1}+\cdots+q_0}$$ $$= \frac{(p_mx^m+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots+p_0)-\frac{p_mx^m}{q_nx^n}(q_nx^n+q_{n-1}x^{n-1}+\cdots+q_0)}{q_nx^n+\cdots+q_0}+\frac{p_mx^m}{q_nx^n}$$ $$= \frac{(p_mx^m+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots+p_0)-p_mx^m-\frac{p_m}{q_n}q_{n-1}x^{m-1}-\cdots-\frac{p_m}{q_n}q_0x^{m-n}}{q_nx^n+\cdots+q_0}+\frac{p_m}{q_n}x^{m-n}$$ $$= \frac{p_{m-1}x^{m-1}+\cdots+p_0-\frac{p_m}{q_n}q_{n-1}x^{m-1}-\cdots-\frac{p_m}{q_n}q_0x^{m-n}}{q_nx^n+\cdots+q_0}+\frac{p_m}{q_n}x^{m-n}$$

El grado del numerador se ha reducido de$m$$m-1$. Debe quedar claro que $\frac{p_m}{q_n}x^{m-n}$ es el único término, exactamente el término que puede ser restado a cancelar $p_mx^m$.

Answer 2

La división es, básicamente, el particionamiento de una expresión con el valor de a (más pequeño) de los componentes. Es el número de veces que los componentes pueden ser contenidas dentro de la expresión/valor.

Vamos a convertir el $10$ a una variable $x$. Por lo $903$ hace $9x^2+3$ $12$ hace $x+2$. A continuación, llegamos $$\begin{align}9x-18\\\text{____________}\\x+2\text{/}\,\,9x^2+0x+3\\\hspace{-3cm}9x^2+18x\\\text{____________}\\-18x+3\\-18x-36\\\text{________}\\39\end{align}$$

Nota: Siéntase libre de editar este intento en la escritura de división larga con $\LaTeX$.

Ahora por lo general se detienen aquí, dando $$903=9\cdot10-18+\frac{39}{12}=75.25$$ But if we continue, we would arrive at $$9x-18+39x^{-1}-78x^{-2}+156x^{-3}-312x^{-4}+\cdots$$ or $$9x-18+\frac{39}x\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac2x\right)^k$$ and since $|-2/x|=0.2<1$, we can invoke geometric series. Thus the expression becomes $$9x-18+\frac{39}{x\left(1+\frac2x\right)}=9\cdot10-18+\frac{39}{10\cdot1.2}=75.25,$$ como antes.

En esencia, esta es una muy interesante manera de escribir $\frac14$ como una serie geométrica!

Answer 3

TheSimpliFire ha tratado ya con la serie infinita parte de su pregunta. Por lo tanto, me dedicaré, pues, a la 'riguroso' definición de división.

Uno de los enfoques posibles (como se descubrió) es definir la división como una serie infinita. Sin embargo, observe que los pasos para hacerlo posible implícitamente implican la división.

Como resulta que, en riguroso de matemáticas (por ejemplo, en álgebra abstracta), el concepto de la división (y resta) es generalmente nunca explícitamente definido. Generalmente , nos definir la multiplicación y, a continuación, definir los inversos multiplicativos (creo, recíprocos) como sigue: Yo Para cada uno, $a \in \mathbb{R^*}$ existe $(1/a) \in \mathbb{R^*}$ tal que $a \cdot (1/a) = 1$. (Aquí, hemos definido el inverso multiplicativo en el set $\mathbb{R^*}$ de los no-cero de los números reales.)

De curso $1$ ya está definido por $1 \cdot a = a$ con las condiciones adecuadas anexa.

A continuación, se puede "definir" la división de $a$ $b$ como la multiplicación de $a$$(1/b)$.

La multiplicación de sí mismo, se define recursivamente mediante la suma; mientras que la adición puede ser definido mediante la ampliación de los números naturales, mientras que los definen utilizando los axiomas de Peano.

Tenga en cuenta que todas las definiciones de las operaciones elementales son algo revisada cada vez que se procede a una mayor conjunto (por ejemplo, de $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$).

También, todas las operaciones que no están definidas para todos los conjuntos. Por ejemplo, la división no puede ser definida en el conjunto $\mathbb{N}$, de los números naturales.

Usted puede leer sobre la teoría de conjuntos, álgebra abstracta y real, el análisis de si usted quiere saber más.

Answer 4

Puede ser confuso dos (a veces, pero no necesariamente, relacionado con los conceptos, a saber: la definición y el algoritmo o método.

Que sirven a propósitos diferentes, pero a veces uno puede hacer alusión a los otros, pero no hay tal restricción (por lo tanto no constructiva definiciones y axiomas, o en el mejor de los impracticable definiciones). Por otro lado, una técnica, método o algoritmo nos ayuda a llegar a algo en una forma en particular, dado un conjunto de restricciones, generalmente de espacio y tiempo; por lo tanto, uno de los estudios de las cosas tales como la aceleración de la convergencia de las iteraciones, la eficiencia de los algoritmos, etc.

Así, mientras que una definición es principalmente conceptual en la manera y nos sirve en ser capaz de captar conceptualmente algún objeto, como si fuera (y no es necesario hacer más que esto), un método no necesita iluminar, pero generalmente es un medio para resolver algún problema en la mano, o poner la mano, prácticamente como lo fueron, en alguna solución, por lo general un número real. Por lo tanto, se requiere de una definición para ser lo más simple y dispersas como sea posible con el fin de ganar en claridad y elegancia, mientras que un método puede ser difícil y complicado, por lo que el tiempo que ayuda a resolver su problema de manera eficiente, dado un conjunto de condiciones, por lo que los diferentes algoritmos de la división de mejor (pero un poco más sofisticado que el método de la división enseña a los escolares.

No es claro, entonces, que uno de ellos quiere ser claro acerca de la división, pero supongo que tal vez un poco de ambos. Ahora, al igual que hay muchas formas de hacer algo (algoritmo), hay muchas maneras de entender algo demasiado (definición). Sólo puedo ficus en una forma de hacer esto último aquí.

Así que, ¿cómo podemos definir la división? ¿Qué significa? Claramente, es algún tipo de operación, pero, ¿qué hacer? ¿Cómo se comportan? Esto es lo que muestra una lista de axiomas se pretende dilucidar. La forma más clara de entender la división (a decir de los números reales) es ver como el contrario de la operación de la multiplicación (la mayoría del tiempo, en cualquier caso). Si definimos la multiplicación $×$ de los números reales $a$ $b$ como una operación binaria (es decir, se debe combinar dos entidades para producir un resultado único) que poseen algunas propiedades, algunas de las cuales son que queremos $a×b$ a ser siempre un número real, que $a×1=a,$ por ejemplo (puede investigar el resto), entonces podemos definir la división como la operación que, dado que el $c=a×b,$ es de $c$ $b$ $a,$y uno, a continuación, investiga cuáles son las propiedades que tiene y su relación con la multiplicación. Uno entonces se habría iniciado en un viaje hacia el álgebra abstracta.