"$\theta$ -$\phi$ duality" y$T$ - duality

Question

Cuando bosonizing una interacción spinless Luttinger líquido, la acción puede ser escrito como \begin{equation} S=\frac{K}{2\pi}\int dx d\tau\ (\partial_\mu\phi)^2 = \frac{1}{2\pi K}\int dx d\tau\ (\partial_\mu\theta)^2, \end{equation} donde $$K=\sqrt{\frac{v_F+g_4/\pi+g_2/\pi}{v_F+g_4/\pi-g_2/\pi}}$$ is the Luttinger parameter, which is one for free fermions. The convention for the $\phi$ field is such that its compactification radius is $R=1$. Alternatively $K$ can be absorbed into the definition of the fields to change $R$ to $R=\sqrt{K}$.

La primera ecuación tiene una aparente simetría en$K\to 1/K$$\theta\to\phi$, y la libre fermión caso se encuentra a la derecha en el auto de punto doble $K=1$ ($R=1$).

Esta dualidad se ve muy similar a la $T$-dualidad para un pacto de libre bosón de CFT. De hecho, en la página 157 de Fradkin del libro (pdf disponible en línea), fue explícitamente señaló que "en la teoría de cuerdas esta transformación se conoce como T-dualidad y la Luttinger parámetro es conocido como el compactification radio (ver, por ejemplo, Polchinski (1998) y Di Francesco et al. (1997))."

Sin embargo, en CFT es bien sabido que el $T$-dualidad toma $R\to 1/(2R)$ (usando la convención de arriba después de que uno absorbe $K$ en la radio) y la auto-dual punto es $R^*=1/\sqrt{2}$, en lugar de $R=1$. Por otra parte, asegurar que esto no es sólo un ingenuo convención problema, hay una emergente $SU(2)\times SU(2)$ simetría en esta auto-dual radius $R^*$, que no es el caso para un libre fermión teoría.

Así que estoy realmente confundido si el $K=1$ de los casos es la auto-dual en $\theta\to\phi$, y si lo es, si tiene algo que ver con el $T$-dualidad. Es la declaración en Fradkin del libro citado anteriormente mal? ¿Cuál es la relación entre esta "$\theta$-$\phi$ la dualidad" y $T$-dualidad?

Answer 1

Si usted se ve en este papel, en la figura 1: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321388902490 se puede ver claramente que el auto de punto doble de la compacta bosón rama de la $c=1$ espacio de moduli (que es$SU(2)_1$) $R = 1/\sqrt{2}$ no es el libre fermión CFT.

La libre fermión CFT en realidad no tienen la $\phi, \theta$ simetría de intercambio, porque si se trata adecuadamente (y el uso de su normalización) estos campos deben tener diferente periodicidad. De hecho, uno de ellos tendrá periodicidad $4\pi$, decir $\theta$, por lo que el fermión operador $e^{i \theta/2}$ es local. La dualidad de los intercambios que el campo da lugar a la fermión.

También recomiendo leer I. Affleck las conferencias de 1988 Les Houches de la escuela en los campos, las cadenas y los fenómenos críticos (y todos los de las clases contenidas en el interior). Son mucho más cuidado que el moderno referencias.

Answer 2

Inspirado por la respuesta por parte de Ryan, que fue capaz de trabajar en los detalles de la identificación de la $\theta$-$\phi$ la dualidad como el $T$-dualidad.

Comencemos con \begin{align} S=\frac{1}{2\pi}\int dx d\tau\ (\partial_\mu \phi)^2, \end{align} donde el compactification radio \begin{align}R_{\phi}=\sqrt{K}\end{align} y lo puso en un cilindro con la circunferencia de la $L=1$.

Sabemos que el espectro de un compactified bosón es aportado por los movimientos colectivos de la cadena y de un sector de oscilaciones armónicas de la cadena. La ecuación de movimiento (véase el Gran Libro Amarillo) a la siguiente solución $\phi = \phi_0 + vt + 2\pi \sqrt{K}mx + \mathrm{oscillations}$, donde $m\in\mathbb{Z}$ es una bobina número de alrededor del cilindro. La velocidad de $v$ está relacionado con la canónica impulso $\Pi_{\phi}$, la cual es cuantificada como $\Pi_{\phi}=n/\sqrt{K},~n\in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, tal estado se caracteriza por $(n,m)$, es decir, \begin{align} \phi = \phi_0 + \frac{n\pi t}{\sqrt{K}} + 2\pi \sqrt{K}mx + \mathrm{oscillations}. \end{align}

Podemos preguntar qué campos primarios crea este estado. Sabemos que el $(n,0)$ estados, los cuales son autoestados de $\Pi_{\phi}$, es creado por el vértice del operador \begin{align} \mathcal{V}_{n}=e^{i{n}\phi{\sqrt{K}}}, \end{align} pero es menos obvio para encontrar un campo que crea una liquidación número$m$$\phi$. Resulta que implica el doble campo de $\theta$ introducido en bosonization, con $S=\frac{1}{2\pi}\int dx d\tau \ (\partial_\mu\theta)^2$. Sabemos de bosonization que $\theta$ $\phi$ satisfacer \begin{align} \partial_{t}\theta= -\partial_{x}\phi(=-2\pi \sqrt{K}m), \end{align} por lo $m$ es el hecho de que el número cuántico de la canónica impulso $\Pi_{\theta}= -2\sqrt{K} m$. El operador correspondiente a $(n,m)$ estado es por lo tanto \begin{align} \mathcal{V}_{(n,m)}=e^{i{n}\phi{\sqrt{K}}+i2\sqrt{K}m\theta}. \end{align} Vemos que el compactification de radio de la $\theta$ campo \begin{align} R_{\theta} = \frac{1}{2\sqrt{K}}. \end{align} El $n\to m$, $\theta\to\phi$, $K\to 1/(4K)$ la simetría de $\mathcal{V}_{(n,m)}$ es bien conocido como el $T$-la dualidad de la teoría. La auto-dual punto es $K=1/2$. En este punto,$R_{\phi}=R_{\theta}=1/\sqrt{2}$.

De esto resulta claro que la libre de Dirac fermión caso con $K=1$ no tiene la $\theta$-$\phi$ la simetría desde sus radios es diferente.