¿Un módulo R finitamente generado es un campo si R es un campo?

Question

No estoy seguro de cómo hacerlo. Si $S$ es un campo, entonces estaba considerando que $\exists r_1,\ldots, r_n\in R$ s.t. $1 = r_1s_1+\cdots+r_ns_n$ por lo que para $r = rr_1s_1+\cdots+rr_ns_n$ . Tal vez eso es de alguna manera útil para tomar inversas de elementos.

La suposición de que $S$ es un dominio integral es necesario porque de lo contrario podríamos tener $S = \mathbb{Z}_p[x]/f(x)$ donde $f(x)$ no es irreducible. Esto sigue siendo un finitamente generado $\mathbb{Z}_p$ -pero no es un campo.

Agradecería cualquier consejo o solución. Siento que esto no es tan difícil y me estoy perdiendo algo simple

Fuente: https://dornsife.usc.edu/assets/sites/363/docs/F17_510ab.pdf

Answer 1

Descubre los spoilers de las soluciones completando las pistas que aparecen a continuación:

• Supongamos que $R$ es un campo, y sea $s \in S$ sea un elemento distinto de cero. Entonces la multiplicación por $s$ es un $R$ -endomorfismo lineal de $S$ que es inyectiva ya que $s$ es distinto de cero y $S$ es un dominio.

  Desde $S$ es una dimensión finita $R$ -se deduce que la multiplicación por $s$ también es suryectiva, por lo que $1$ está en la imagen de este mapa.

• Supongamos que $S$ es un campo. La solución que tengo en mente para esta dirección es un poco más complicada. Dejemos que $r \in R$ sea distinto de cero, y que $s$ sea la inversa de $r$ en $S$ . Como antes, considere la $R$ -mapa lineal $\varphi_{s} \colon S \to S$ correspondiente a la multiplicación por $s$ . Desde $S$ es una $R$ -módulo, $\varphi_{s}$ satisface una relación polinómica mónica con coeficientes en $R$ por Cayley-Hamilton. Es decir, existe $r_{1}, \ldots, r_{n} \in R$ tal que la multiplicación por $s^{n}+r_{1}s^{n-1} + \cdots +r_{n}$ es el elemento cero de $\mathrm{End}_{R}(S)$ .

  Desde $S$ es un fiel $R$ -módulo ( $R$ es un subring de $S$ por lo que contiene $1$ ), esto implica que $s^{n}+r_{1}s^{n-1} + \cdots +r_{n} = 0$ . Ahora multiplica ambos lados por $r^{n-1}$ para concluir que $s \in R$ .

Answer 2

Sugerencias :

$\Rightarrow$ : Si $R$ es un campo, sea $s\in S$ y considerar la multiplicación por $s$ en $S$ . Comprueba que esto es un inyectivo $R$ -mapa lineal. ¿Qué puede concluir, sabiendo $S$ es una dimensión finita $R$ -¿espacio vectorial?

$\Leftarrow$ : Si $S$ es un campo, considere $r\in R$ ya sabes $r^{-1}\in S$ por lo que es una raíz de un polinomio mónico en $R[X]$ . Deduzca de esta ecuación polinómica que $r^{-1}$ es un polinomio en $r$ por lo que pertenece a $R$ .