Dada una proyección $p$ , encontrar el mayor subconjunto $G(p) \subset Map(S,S)$ que es un grupo bajo composición

Question

Quiero demostrar, que dado un conjunto $S$ y una proyección $p: S \rightarrow S$ (es decir $p = p \circ p$ ), existe un subconjunto mayor $G(p) \subset Map(S, S)$ que contiene $p$ y es cerrado bajo composición y $(G(p), \circ)$ es un grupo.

No tengo ni idea de cómo este $G(p)$ parece que $p$ es por supuesto la identidad, pero cómo definir $G(p)$ ? ¿Alguna idea?

Answer 1

Primero, una idea natural que no funciona del todo pero casi: $$H(p)=\{f:S\to S\mid f\circ p=p\circ f=f\}$$

Ello se debe a que $p$ tiene que ser la identidad, por lo que en cualquier caso $G(p)$ tiene que ser un subconjunto de los anteriores.

Está claro que $H(p)$ cerrado bajo composición, contiene un elemento de identidad, y que $\circ$ es asociativo.

La parte no trivial es encontrar los inversos. $$f\circ g=g\circ f=p$$ implica que $f$ no pierde más información que $p$ hace. Precisamente, $f\mid_{\operatorname{Im}p}:\operatorname{Im}p\to \operatorname{Im}p$ tiene que ser una biyección. Así que vamos a añadir este requisito. $$G(p)=\left\{f:S\to S\left|\, \begin{array}[l]\bullet f\circ p=p\circ f=f\\ f\mid_{\operatorname{Im}p}:\operatorname{Im}p\to \operatorname{Im}p\text{ is bijective}\end{array}\right\}\right.$$

Encontrar las inversiones es de nuevo la única parte posiblemente no trivial. Sea $f\in G(p)$ y $g:S\to S$ se define por $g\mid_{\operatorname{Im}p}=(f\mid_{\operatorname{Im}p})^{-1}$ . Esto no define del todo $g$ sin embargo. Dado que los inversos son únicos, es probable que no cualquier extensión de $S$ funcionará. De hecho, para ser un elemento de $G(p)$ $g$ necesidades de satisfacer $$g\circ p=g$$ Y ahí lo tienen: para $s\in S\setminus \operatorname{Im}p$ , set $$g(s):=g(p(s)).$$

Por definición ahora, $\operatorname{Im}g\subset \operatorname{Im}p$ Por lo tanto $p\circ g=g$ se satisface, y $g\in G(p)$ .

Por último, para cualquier $s\in S$ : $$f\circ g(s)=f\circ g(p(s))=p(s)$$ y $$g\circ f(s)=g\circ f(p(s))=p(s)$$