¿Dónde están los conceptos de la teoría de modelo de?

Question

Mira el siguiente definición.

Definición. Deje $\kappa$ ser un infinito cardenal. Una teoría de la $T$ se llama $\kappa$-estable si para todos los modelos del $M\models T$ y todos los $A\subset M$ $|A|\leq \kappa$ tenemos $|S_n^M(A)|\leq \kappa$. Una teoría de la $T$ se llama estable si es $\kappa$-estable para algunos infinito cardenal $\kappa$.

Soy principiante en el modelo de la teoría y por lo que mi pregunta puede ser estúpido. Cuando se lee un libro de texto básico en matemáticas puede ver que la algebraica , análisis geométrico, topológico y .... definiciones/conceptos son naturales. Por ejemplo algebraica de los conceptos, de grupo, anillo, campo, módulo, la teoría de Galois y ... tienen un claro natural de las raíces. También la noción de continuidad en el análisis es natural (en mi sentido!) concepto. La idea detrás de la topología también es natural. Pero el modelo teórico de las nociones no son generalmente de hormigón para mí en absoluto! Por ejemplo una de las partes principales en el modelo de la teoría es la estabilidad de la teoría (que es una parte de Sela clasificación) en el que usted necesita para contar el número de tipos. Me gustaría saber: ¿dónde está la idea de estabilidad (contando el número de tipos)?

Cualquier referencia que se agradece.

Answer 1

Recomiendo esta encuesta de Chernikov como una fuente.

La estabilidad, en mi opinión, debe ser considerado en el contexto general de la clasificación del programa de$^1$ - en particular, la idea es buscar un "tameness" de la propiedad, que esperamos que implica que una determinada teoría tiene "pocos" los modelos (de modo que tenemos una esperanza de clasificar). Es decir, la estabilidad es (al menos al principio) una herramienta con un potencial de aplicación. Recuerde su aspecto original, después de todo: Morley introducido para mostrar que (para contables completos teorías) categoricity en uno de los innumerables cardenal implica categoricity en cada innumerables cardenal, o, más ampliamente que categoricity en una sola innumerables cardenal es un increíblemente poderoso tameness de la propiedad.

El punto clave, entonces, es conectar la estabilidad más general con el número de modelos - o, más sencillamente, para entender por qué "más tipos = más modelos." Creo que un buen ejemplo a considerar aquí es $\mathbb{C}$ frente al $\mathbb{R}$ como campos. La primera teoría es muy simple: un algebraicamente cerrado de campo se clasifica completamente por su característica y su trascendencia grado, y en particular, a la teoría de algebraicamente cerrado campos de característica cero es uncountably categórica. Por el contrario, la última teoría es muy complicado, al menos en el sentido de contar con los modelos: es fácil mostrar que existen, por ejemplo, el continuum de muchos que no son isomorfos contables real de campos cerrados. Jugando con este ejemplo, no es difícil ver que lo que pasa es que $\mathbb{C}$ tiene "pocos tipos", mientras que $\mathbb{R}$ tiene "muchos tipos," y esto nos da la idea de probar a conectar el número de tipos y el número de modelos en general. (Se sugiere también, más específicamente, una relación entre la inestabilidad y definibles por el orden, y, de hecho, esto resulta en un muy fuerte sentido: ver la Definición 2.9 y siguientes en el documento enlazado más arriba.)

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$^1$De curso, hasta cierto punto, esto sólo empuja la pregunta de nuevo: ¿por qué, o en qué medida, es el programa de clasificación natural? En mi opinión, la cuestión de cuándo una (de primer orden axiomatizable) clase de estructuras admite una "razonable clasificación" es muy natural, motivada por ejemplos en cada lado - por ejemplo, innumerables densa lineal órdenes sin extremos son extremadamente complicado, incluso a pesar de que su teoría es muy simple, mientras algebraicamente cerrado campos son fácilmente clasificados por carácter y trascendencia grado - y reflexivo deseo de encontrar un "hilo conductor" la unificación de los mansos, o el salvaje, de las teorías.

Answer 2

Me gustaría argumentar que el recuento de los tipos de definición de estabilidad en realidad es muy "natural".

En el nivel más básico, el modelo de la teoría es acerca de la semántica de primer orden de las fórmulas, es decir, conjuntos definibles en los modelos. Desde la lógica de primer orden es construido en la clásica lógica proposicional, hay álgebras Booleanas en todas partes. En particular, si se fija un determinado contexto variable $x_1,\dots,x_n$ y un subconjunto $A$ de un modelo de $M$, se obtiene el álgebra Booleana $B_n(A)$ de los subconjuntos de a $M^n$ que son definibles con los parámetros de $A$.

Ahora la Piedra de la dualidad asociados a cualquier álgebra de boole $B$ su Piedra espacio de ultrafilters $S(B)$, y me lo tomo como "natural" en la teoría de la Booleano algeabras para el estudio de $B$ en términos de $S(B)$, el uso de herramientas desde el punto de conjunto de la topología. Pero olvidarse de la topología, por ahora, es evidente que existe una, muy grueso, invariante puede asignar a $B$, es decir, la cardinalidad de a $S(B)$.

Si $B$ es el álgebra de boole $B_n(A)$, $S(B)$ es el espacio $S_n(A)$ completa de los tipos de más de $A$, y el invariante de arriba es el número de completar tipos más de $A$.

La reintroducción de la topología, otro de los invariantes que pueden ser asignados a una Piedra espacio es su Cantor-Bendixson rango. De hecho, uno es llevado en forma "natural" de contar tipos de Cantor-Bendixson rango por el teorema de que si $B$ es una contables álgebra de boole, a continuación, $|S(B)|<2^{\aleph_0}$ si y sólo si $|S(B)| = \aleph_0$ si y sólo si $S(B)$ es un dispersos en el espacio, lo que significa que el Cantor-Bendixson proceso termina en el conjunto vacío en algún contables ordinal etapa. Y pensando en el Cantor-Bendixson rango para varios Booleano álgebras de conjuntos definibles da lugar a diferentes rangos en la estabilidad de la teoría (Morley rango, local rangos, etc.).

Eso no quiere decir que la introducción de contar tipos y rangos en el modelo de la teoría era una cosa obvia - estas cosas se ven "natural" con el beneficio de la retrospectiva. Pero lo mismo podría decirse de cualquiera de los ejemplos de "natural" definiciones en su pregunta, la mayoría de los cuales tomó muchos años y muchas iteraciones para obtener exactamente a la derecha.

Por otro lado, el Sela y la de otros modelos teóricos, que trabajó en la teoría de la estabilidad en sus primeros años había muchas otras grandes ideas que parecen ser mucho menos "natural" para mí, o al menos más sorprendente, y que fueron cruciales para el desarrollo de la teoría de la estabilidad: la equivalencia de inestabilidad con el orden de la propiedad, la noción de definability de tipos, la herramienta de la bifurcación de la independencia, etc.

Answer 3

Sólo para añadir un punto a ¿por qué el programa de clasificación es natural:

Uno puede interpretar el modelo teórico del enfoque para el estudio de una estructura $M$ como la asignación de a $M$ su `lógica invariances", que es sólo una forma elegante de referirse a la teoría de la $T$$M$.

Por lo tanto, es natural, tratando de entender cómo de potente es lógico invariances son, es decir, ¿hasta qué punto es $T$ a partir de la caracterización de sus modelos hasta el isomorfismo completamente.

Resulta por Löwenheim–Skolem teorema de que el único caso donde $T$ tiene poder absoluto es absolutamente aburrido: $T$ tiene un único modelo finito hasta el isomorfismo. Así que el primer no-aburrido situación donde $T$ es poderoso, es al $T$ tiene pocos modelos en ciertos infinito de cardinalidad. La estabilidad es un poco diferente de la expresión de la idea de que $T$ es poderoso. Aquí $T$ tiene pocos tipos en un pequeño parámetro se establece en lugar de algunos modelos. Como Noé señaló, estas dos nociones de poder están estrechamente relacionados.

La principal idea de Morley y más tarde Sela, en mi opinión, es el siguiente: al $T$ es poderoso en cierto modo, esto es debido al hecho de que los modelos de $T$ están equipados con algún tipo de especial algebraicas características (dimensión, colonial relación,...) y no codifican complicado combinatoria patte

Desde este punto de vista, uno puede ver las distintas definiciones de estabilidad como la equiparación de la potencia (de tener pocos tipos) con el hecho de tener algebraica (de las características locales de la noción de dimensión, independiente de la relación con propiedades especiales) y con la no codificación complicado combinatorio de patrones (en este caso un orden). Uno puede pensar también en el Teorema de Morley como corolario de este fenómeno: Estas características persisten a través de otros cardinalidad que conduce a la teoría también tiene unos modelos en otros cardinalidad así.