Producto de números malvados sobre el producto de números odiosos impares

Question

estoy trabajando en un problema donde im confrontado con esta fracción $\frac{3 \cdot 5\cdot9\cdot15\cdot17\cdot23\cdot27\cdot29 ...}{1\cdot7\cdot11\cdot13\cdot19\cdot21\cdot25\cdot31 ...}$ . He encontrado que el producto en el numerador es el producto de todos los impares mal los números y el producto en el denominador es el producto de todos los impares odiosa números. Im especialmente interesado en la secuencia $\frac{3}{1}=3$ , $\frac{3\cdot5}{1\cdot7}=\frac{15}{7}$ , $\frac{3\cdot5\cdot9\cdot15}{1\cdot7\cdot11\cdot13}=\frac{2025}{1001}$ , ... donde $2^n$ factores se ponen juntos. Es fácil ver que esta serie converge monótonamente decreciente a 2 pero no tengo idea de cómo la prueba de que. Puede alguien me ayuda ?

Nota: un odioso número es un entero no negativo que tiene un número impar de $1$s en su binario de expansión. Un mal número, es aquella que tiene un número de $1$s.

Editar: Debido a que algunas personas son un poco sospechosas sobre odiosas y mal números quiero dar una formulación alternativa de mi problema. Considere la siguiente función recursiva: $f(n)=(-1)\cdot f(l)$ donde $n=2^k+l$ $l>0$ es la única representación de n como la máxima potencia de 2 con un resto $0\le l \lt 2^k$ $f(1)=(-1)^k$ donde$n=2^k$, la cual es definida no negativa enteros impares. Estoy buscando el valor del producto $\lim_{N->\infty}\prod_{n=1}^{2^N}{(2\cdot n-1)^{-f(n)}}$ . Esta es la forma en que llegué a esta fracción dada anteriormente.

Edit2: creo que he encontrado otra representación sin una prueba de que estos son iguales

$\frac{3 \cdot 5\cdot9\cdot15\cdot17\cdot23\cdot27\cdot29 ...}{1\cdot7\cdot11\cdot13\cdot19\cdot21\cdot25\cdot31 ...}=(1+\frac{2}{1})\cdot(1-\frac{2}{7})\cdot(1-\frac{2}{11})\cdot(1+\frac{2}{13})\cdot(1-\frac{2}{19})\cdot(1+\frac{2}{21})\cdot(1+\frac{2}{25})\cdot(1-\frac{2}{31})...$

A mí me parece que la regla de la construcción de este producto es $\prod_{n=1}^{\infty}{(1+\frac{(-1)^{m_n}\cdot2}{o_n})}$ donde $m_n$ es el n-ésimo elemento de la Thue–Morse secuencia y $o_n$ es el n-ésimo elemento de la extraña odiosa número de secuencia. Tal vez esto parece familiar a alguien

Answer 1

Esto se deduce fácilmente de corolario 2.4(b) de "Más Infinito de los Productos: Thue-Morse y la función Gamma" (arXiv:1709.03398) por Jean-Paul Allouche, Samin Riasat, y Jeffrey Shallit. La declaración no es

$$ \prod_{n \ge 0} \left( {4n+1 \over 4n+3} \right)^{(-1)^{t_n}} = {1 \over 2} $$

donde $t_n$ es el Thue-Morse secuencia, me. e. $t_n$ es la suma de los bits de los binarios de expansión de $n$. El resultado deseado de la siguiente manera tomando el recíproco de ambos lados para obtener

$$ \prod_{n \ge 0} \left( {4n+3 \over 4n+1} \right)^{(-1)^{t_n}} = 2$$

y algunos de reescritura en el lado izquierdo para obtener un producto más de los números impares.

Answer 2

No he resuelto esto en detalle, pero estoy seguro de que sabe cómo ir sobre ella. Hay algunos hechos sobre el mal y odiosas de los números que he encontrado experimentalmente por ordenador. Una vez verificado, se le dará una solución completa.

Mira "En el Infinito de los Productos Asociados con las Sumas de Dígitos," por J. O. Shallit. Para $k\geq2$ un entero positivo, el autor define a $s_k(n)$ a la suma de los dígitos del número entero no negativo $n$ cuando se escriben en la base de $k$. Teorema $3$ en el papel es

Deje $k$ ser un entero positivo y deje $m_i, n_i$ ser tal que $2i\leq m_i,n_i<2(i+1),$ $s_k(m_i)\equiv0\pmod2$ y $s_k(n_i)\equiv1\pmod2.$ $$ \prod_{i=0}^{\infty}{1+m_i\over 1+n_i}={\sqrt{k}\over k}$$

Si dejamos $k=2,$ y deje $m_i$ $n_i$ ser el malo y odioso enteros, respectivamente, esto le da $$ \prod_{i=0}^{\infty}{1+m_i\más de 1+n_i}={1\over \sqrt2} \etiqueta{1} $$

No he probado que las condiciones de crecimiento son satisfechos, simplemente comprobado numéricamente para$0\leq i<2^{20},$, pero yo esperaría que no es muy difícil hacer esto, el uso de la Thue-Morse secuencia.

Aviso de que si en lugar de correr sobre el mal y odiosas de los números, $m_i$ $n_i$ pasó por encima de la que incluso el mal y odiosas de los números, tendríamos el recíproco del producto que queremos. Por lo tanto, nos vamos a dividir el producto en $(1)$ $$ \prod_{i=0}^{\infty}{1+m_i'\más de 1+n_i'}\etiqueta{2}$$ where $m_i',n_i'$ run over the odd evil and odious numbers, respectively. Say $m_i'=2c_i+1, n_i'=2d_i'+1,$ so that $$ {1+m_i'\over1+n_i'}={1+c_i\over1+d_i}\etiqueta{3}$$

El $c_i$ son precisamente la odiosa enteros, y el $d_i$ son precisamente los números enteros, de manera que el producto en $(2)$ es el recíproco del producto en $(1)$ o $1/\sqrt2,$ $(1)$ dividido $(2)$ $1/2,$ que es justo lo que queremos. Que el $c_i$ $d_i$ son, como afirma de la siguiente manera por el hecho de que $2n+1\mapsto n$ es un bijection de los impares enteros positivos en números enteros no negativos, y la recurrencia $t_{2n+1}=1-t_n$ para el Thue-Morse secuencia.

Voy a dejar las condiciones de crecimiento para usted para verificar.

Debo mencionar que en la prueba del Teorema $1$, Shallit apelaciones a Prouhet la solución de la Prouhet-Quédate-Escott problema, que al parecer depende de la Thue-Morse secuencia.