estoy trabajando en un problema donde im confrontado con esta fracción 3⋅5⋅9⋅15⋅17⋅23⋅27⋅29...1⋅7⋅11⋅13⋅19⋅21⋅25⋅31... . He encontrado que el producto en el numerador es el producto de todos los impares mal los números y el producto en el denominador es el producto de todos los impares odiosa números. Im especialmente interesado en la secuencia 31=3 , 3⋅51⋅7=157 , 3⋅5⋅9⋅151⋅7⋅11⋅13=20251001 , ... donde 2n factores se ponen juntos. Es fácil ver que esta serie converge monótonamente decreciente a 2 pero no tengo idea de cómo la prueba de que. Puede alguien me ayuda ?
Nota: un odioso número es un entero no negativo que tiene un número impar de 1s en su binario de expansión. Un mal número, es aquella que tiene un número de 1s.
Editar: Debido a que algunas personas son un poco sospechosas sobre odiosas y mal números quiero dar una formulación alternativa de mi problema. Considere la siguiente función recursiva: f(n)=(−1)⋅f(l) donde n=2k+l l>0 es la única representación de n como la máxima potencia de 2 con un resto 0≤l<2k f(1)=(−1)k donden=2k, la cual es definida no negativa enteros impares. Estoy buscando el valor del producto lim . Esta es la forma en que llegué a esta fracción dada anteriormente.
Edit2: creo que he encontrado otra representación sin una prueba de que estos son iguales
\frac{3 \cdot 5\cdot9\cdot15\cdot17\cdot23\cdot27\cdot29 ...}{1\cdot7\cdot11\cdot13\cdot19\cdot21\cdot25\cdot31 ...}=(1+\frac{2}{1})\cdot(1-\frac{2}{7})\cdot(1-\frac{2}{11})\cdot(1+\frac{2}{13})\cdot(1-\frac{2}{19})\cdot(1+\frac{2}{21})\cdot(1+\frac{2}{25})\cdot(1-\frac{2}{31})...
A mí me parece que la regla de la construcción de este producto es \prod_{n=1}^{\infty}{(1+\frac{(-1)^{m_n}\cdot2}{o_n})} donde m_n es el n-ésimo elemento de la Thue–Morse secuencia y o_n es el n-ésimo elemento de la extraña odiosa número de secuencia. Tal vez esto parece familiar a alguien