Demuestre que si $(\sum x_n)$ converge absolutamente y $(y_n)$ está acotado, entonces $(\sum x_n y_n)$ converge

Question

Este es el ejercicio 2.7.6 del libro Comprender el análisis de Abbott, quiero una comprobación de mi prueba y si se necesita información adicional para completarla.

a) Demuestre que si la secuencia $(\sum x_n)$ converge absolutamente y la secuencia $(y_n)$ está acotada, entonces la secuencia $(\sum x_n y_n)$ converge

b) Encuentre un contraejemplo que demuestre que a) no siempre se cumple si la convergencia de $(\sum x_n)$ es condicional

Para la parte a): si $(\sum x_n)$ converge absolutamente significa, utilizando la definición de secuencias de Cauchy (que demuestra la convergencia en espacios completos) aplicada a series que

$$\forall \varepsilon> 0, \exists N\in\Bbb N :\sum_{n=m}^{t} |x_n|<\varepsilon, \forall t>m> N$$

y tenemos las desigualdades $|\sum x_n y_n|\le \sum|x_n y_n|$ y $|\sum x_n|\le\sum|x_n|$ . Y causa $(y_n)$ está acotado tenemos que $|y_n|\le B$ y luego

$$\left|\sum x_n y_n\right|\le\sum|x_n y_n|\le B\sum|x_n|$$

Entonces tenemos que $$\sum_{n=m}^{t} |x_n|<\frac{\varepsilon}{B}\implies\left|\sum_{n=m}^{t} x_n y_n\right|\le B\sum_{n=m}^{t}|x_n|<\varepsilon$$

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Para la parte b) podemos tomar la secuencia convergente condicional $(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n})$ y la secuencia acotada $((-1)^{n-1})$ . Si multiplicamos ambos como define el problema obtenemos la secuencia divergente $(\sum \frac1n)$

Answer 1

(Escribo esto sólo para que la pregunta se marque como respondida). Tienes razón en ambos casos. Tienes razón en la primera parte que básicamente se reduce a

$$\left|\sum\limits_{n}x_n y_n\right|\leq \sum\limits_{n}|x_n y_n| = \sum\limits_n |x_n||y_n|\leq \sup\limits_{k}|y_k|\sum\limits_{n}|x_n|< +\infty.$$

Su contraejemplo en la segunda parte es bueno.