Pregunta sobre los cortes de rama

Question

Estoy empezando a aprender un poco de análisis complejo, y estoy un poco confundido en cuanto a cuál es el propósito de un corte de rama. ¿Es para hacer una función continua, o de un solo valor?

Por ejemplo, el $\sqrt{}$ es multivaluada: ya que $w(z)=z^2$ tiene $w(z)=w(-z)$ con el fin de hacer $\sqrt{}$ la inversa de $z^2$ podemos elegir una de las dos ramas, $w\to\sqrt{w}$ ou $w\to -\sqrt{w}$ La primera es la rama principal. Esta función mapea $\mathbb{C}\to$ (semiplano derecho), y el otro se asigna al semiplano izquierdo. Por lo que puedo decir, ambas funciones están ahora bien definidas en $\mathbb{C}$ pero no son continuas porque para un punto $-r$ en el eje real negativo, la rama principal $w(z)\to i\sqrt{r}$ como $z\to r$ desde arriba, pero $w(z)\to -i\sqrt{r}$ como $z\to r$ desde abajo. Para que la rama principal sea continua, simplemente cortamos esta sección de la línea real y definimos la rama principal $\sqrt{}_{+}:\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]\to\mathbb{C}$ .

¿Es esta la idea correcta? Además, estaba asumiendo que Arg $(z)\in[-\pi,\pi)$ ; es el único corte de rama que podrías hacer con Arg $(z)\in[-\pi,\pi)$ ? ¿Dónde estaría el corte de la rama si Arg $(z)\in[0,2\pi)$ ¿en su lugar?

Answer 1

Es para hacer la función continua Y de valor único. En las matemáticas modernas, los "valores múltiples" no se aceptan como funciones. Una razón importante es que no está claro cómo sumarlas o multiplicarlas.

Considere su ejemplo $z^2=w$ . Esto es una ecuación, $z$ es desconocido, y $w$ es un parámetro. Cuando $w\neq 0$ esta ecuación tiene dos soluciones. Así que si queremos definir una función $z=f(w)$ resolver esta ecuación, y dar todas las soluciones, tiene que ser $2$ -valorado, y esto no está permitido, como he dicho.

Podemos intentar SELECCIONAR una de estas dos soluciones, para cada $w$ y hacer una función $z=f(w)$ que satisfará la ecuación que es $f^2(w)=w$ para todos $w$ . La cuestión es cómo seleccionar.

Esto se puede hacer de MUCHAS maneras (infinitas). En el análisis real, se suele utilizar el positivo $w$ entonces hay una forma natural de seleccionar: se toma como $f(w)$ la solución positiva de la ecuación $z^2=w$ . Con los números complejos esto no funciona.

Es posible que se quiera seleccionar $f(w)$ es un camino CONTINUO. Esto no es posible si queremos definir $f$ para todos $w$ . Pruébalo tú mismo. Por eso tenemos que hacer un corte de rama. Si eliminamos el corte (por ejemplo a lo largo del eje real negativo) del plano, entonces una selección continua se hace posible en la región restante. Todavía es posible de dos maneras. Eligiendo $f(1)=1$ hace que una selección continua sea única. Este $f$ se llama la rama principal. En la misma región hay otra rama, a saber $-f$ . Pero si tratas de definirlos en el corte ves que esto es imposible si quieres mantenerlos continuos. Simplemente porque el límite por arriba del corte no es igual al límite por abajo del corte. Y esto es para cada una de las dos "ramas", $f$ y $-f$ .