Hirzebruch$L$ - polinomio y$\mathbb{C}P^n$

Question

Hirzebruch $L$-polinomio es el poder formal de la serie \begin{equation} L(x) = \frac{x}{\tanh x} = 1 + \frac{x^2}{3} + \cdots \end{equation}

Esto define una secuencia multiplicativa y un género $L(M)$ para una orientada al colector. Ver la página de la Wikipedia.

Deje $n = 2k$ ser un entero positivo. Hirzebruch firma del teorema, aplicado a la $4k$-colector $\mathbb{C}P^n$, nos dice que \begin{equation} \langle L(\mathbb{C}P^n), [\mathbb{C}P^n] \rangle = 1. \end{equation}

Me pregunto si esto puede ser mostrado directamente sin necesidad de apelar a la firma del teorema. Por ejemplo, en el caso de una 4-colector $M$, directa cálculo con polinomios simétricos muestra que \begin{equation*} L_2(M) = \frac{c_1^2 - 2c_2}{3} \end{ecuación*}

También sé que las clases de Chern de $\mathbb{C}P^n$ $c(\mathbb{C}P^n) = (1+y)^{n+1}$ para un generador de $y \in H^2(\mathbb{C}P^n)$, de manera especializada a $n = 2$, $M = \mathbb{C}P^2$, \begin{equation*} L_2(\mathbb{C}P^2) = \frac{(3y)^2 - 2(3y^2)}{3} = y^2 \end{ecuación*} que cuando se combina con la clase fundamental da $1$, como quería.

Al $n$ es más grande, los cálculos ser muy complicadas. ¿Hay algún truco al dolor calcular $\langle L(\mathbb{C}P^n), [\mathbb{C}P^n] \rangle = 1$?

Answer 1

He encontrado un método de Dan Liberado apuntes bordism. Es muy, muy hábil, y voy a esbozar a continuación para su integridad.

La principal dificultad con el cálculo directo es el uso de "formal Chern raíces" por la tangente bundle $T\mathbb{C}P^n$. Si $T\mathbb{C}P^n$ fueron una suma de la línea de paquetes, entonces no habría ninguna necesidad de symmetrize el producto y el cálculo sería más fácil. La idea clave es que mientras que $T\mathbb{C}P^n$ no es una suma de la línea de paquetes, es estable equivalente a $(L^*)^{\oplus n+1}$ donde $L$ es el tautológica de la línea de paquete de más de $\mathbb{C}P^n$. Y desde las clases de Chern son estables, en el cálculo de la $L$-clase se puede hacer con $(L^*)^{\oplus n+1}$ lugar.

En otras palabras, desde la $c_1(L^*) = y$, el generador en $H^2 (\mathbb{C}P^n)$, tenemos \begin{equation*} L(\mathbb{C}P^n) = L((L^*)^{\oplus n+1}) = \left(\frac{y}{\tanh y}\right)^{n+1} \end{ecuación*}

Para encontrar el coeficiente de $y^n$ en este producto, se puede utilizar el método de los residuos (la integral es bastante divertido), y llegamos a la conclusión de que si $n$ es incluso, a continuación, $\langle L(\mathbb{C}P^n), [\mathbb{C}P^n] \rangle$ es 1.