Tengo lo que es casi una inmersión con la necesaria simetría, excepto que no es liso en dos puntos.
En primer lugar vamos a considerar un poco inusual forma de la construcción de un toro. Comenzar con un tubo con extremos acampanados. Tire de las dos circulares termina de nuevo en el tubo, por lo que parte de que el tubo está ahora dentro de la "doblada" (un poco como transformar a un calcetín de adentro hacia afuera). Continúe hasta que nos puede pegar la circular dos extremos juntos. Aquí una foto:
![torus]()
Para la botella de Klein, queremos reflejar una de las circulares de los extremos a través de un diámetro antes de pegarlo en el otro extremo. Vamos a hacer esto antes de ir a través de la "plegar" de la construcción que acabamos de describir. Así que empieza con un tubo con una auto-intersección en el centro. El tubo se obtiene partiendo de un círculo vertical, mover a la derecha y, simultáneamente, la compresión en una más delgada y más delgada de forma elíptica. Finalmente, el círculo en movimiento se convierte en un segmento de línea y, a continuación, re-expande de nuevo a un círculo. Como este:
![self-intersecting tube]()
Los dos X se supone que sugieren donde el tubo de auto-cruza. En la parte superior y la parte inferior de la auto-intersección, tenemos la falta de suavidad.
Ahora podemos hacer la quema, plegar, y final-pegar como antes, lo que resulta en la Klein-botella.
Deje que nos convencemos de que esta es una botella de Klein. Tenemos el estándar de identificación de diagrama:
![klein identification diagram]()
Después de la identificación de $A_1$ $A_2$ tenemos un tubo horizontal. Ahora necesitamos identificar a $B_1$$B_2$, que se han convertido en los círculos después de la primera identificación. Sin embargo, un círculo tiene que ser "volcó", de modo que las orientaciones coinciden, como se indica por las flechas. La costumbre de inmersión logra esto mediante la rotación de un círculo a través de 180 grados, tirando del tubo alrededor de detrás de él. Sin embargo, si centramos nuestra atención en lo que la rotación de 180 grados hace un mapeo de que el círculo en sí, vemos que es sólo la reflexión en el eje y: $(x,y)\mapsto (-x,y)$. (Que si dibujamos un círculo en el plano xy.) El "más delgado, entonces más gruesa de la elipse de la" transformación realiza la misma cosa. Analíticamente: $(x,y)\mapsto (tx,y)$ donde $t$ varía de 1 a $-1$.
Como por la suavidad, excepto en dos puntos, se nota que a lo largo de la línea de auto-intersección, que realmente debería pensar en superficie como pasar a través de sí mismo, sin intersección. (Al igual que con la superficie de Riemann de $\sqrt{z}$ - o el círculo de auto-intersección en la costumbre de inmersión.) He aquí una parametrización de sólo la auto-intersección del tubo (antes de la quema y plegar). Primero vamos a poner las coordenadas en el regular tubo. Vamos a usar $(x,y,t)$ donde $t$ es el eje horizontal. Deje $x$ $y$ ser las coordenadas en un plano perpendicular al plano del papel (o la pantalla del ordenador, supongo). Todos los puntos del tubo original están dadas por $-1\leq t\leq 1$, $x^2+y^2=1$. Ahora vamos a $f(x,y,t)=(tx, y, t)$. En un barrio de $t=0$ $x,y$ $x\neq 0$ (para $-1<y<1$), $f$ es suave y tiene un suave inversa. Sólo para enfatizar: si $U$ es este conjunto abierto que contiene a$(x,y,t)$, $f:U\rightarrow f(U)$ es suave y tiene un suave inversa con dominio de $f(U)$. (Sin embargo, $f(U)$ no es abierto en la topología relativa de $\mathbb{R}^3$.) Al $x=0$ (es decir, $y=\pm 1$), la inversa de la asignación no es suave.
