¿Cómo pruebo la siguiente afirmación sobre una suma de una serie?

Question

No he podido resolver completamente este problema y me está volviendo loco. Podrias ayudarme por favor.
La pregunta es para mostrar que,$$\sum_{n=1}^N \frac{\sin n\theta}{2^n} =\frac{2^{N+1}\sin\theta+\sin N\theta-2\sin(N+1)\theta }{2^N(5-4\cos\theta)}$ $ ¿Por dónde empiezo? Traté de resolver esto usando el Teorema de De Moivre, pero no sé dónde me estoy equivocando. ¿Podría ayudarme o, si es posible, mostrar otras formas de abordar este problema en particular?

¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Si sigues una de las sugerencias, la sumatoria es la parte imaginaria de

$$ \begin{align*} \sum_{n = 1}^{N}\frac{e^{in\theta}}{2^{n}} &= \sum_{n = 1}^{N}(e^{i\theta}/2)^{n}\\ &= \frac{e^{i\theta}}{2} \frac{\left(1-\frac{e^{Ni\theta}}{2^N}\right)}{\left(1-\frac{e^{i\theta}}{2}\right)}\\ &= \frac{e^{i\theta}(2^N-e^{Ni\theta})}{2^N(2-e^{i\theta})}\\ &= \frac{e^{i\theta}(2^N-e^{Ni\theta})(2-e^{-i\theta})}{2^N(2-e^{i\theta})(2-e^{-i\theta})}\\ &= \frac{(2^Ne^{i\theta}-e^{(N+1)i\theta})(2-e^{-i\theta})}{2^N(4-2(e^{i\theta}+e^{-i\theta})+1)}\\ &= \frac{2^{(N+1)}e^{i\theta}-2e^{(N+1)i\theta}-2^N+e^{Ni\theta}}{2^N(4-2(e^{i\theta}+e^{-i\theta})+1)} \end {align *} $$

La parte imaginaria de esto es

ps

Answer 2

Sugerencia: escriba$\sin(n\theta)=\dfrac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{2i}$, luego, use la fórmula para la suma de una serie geométrica.