Conjunto de subconjuntos infinitos. ¿Es una topología?

Question

Esta es la pregunta:

Dejemos que $X = \mathbb{R}$ y que $\Omega$ consiste en el conjunto vacío y todos los subconjuntos infinitos de $\mathbb{R}$ . Es $\Omega$ ¿una estructura topológica?

Mi intento : Creo que la respuesta es No; no es una topología. Porque tenemos $$ \Omega = \lbrace \varnothing \rbrace \cup \lbrace U \subseteq \mathbb{R} \mid \text{$ U $ is infinite} \rbrace $$

Si comprobamos el axioma de la propiedad de intersección finita entonces dejemos $U_1, U_2 ..U_n$ sean elementos finitos de $\Omega$ ahora $\cap_{i=1}^{n} U_i$ puede ser finito y, por tanto, no pertenece a $\Omega$ . ¿Es correcta esta explicación?

EDITAR: Que $U_1$ sea el conjunto de todos los números pares positivos y $U_2$ sea el conjunto de todos los primos. Ahora sabemos que ambos $U_1$ y $U_2$ son elementos de $\Omega$ ya que son conjuntos infinitos pero $ U_1 \cap U_2 = \lbrace 2 \rbrace $ que es finito.

Answer 1

No, porque dos conjuntos infinitos pueden tener una intersección finita no vacía (por ejemplo, la intersección de números primos y números pares es $\{2\}$ ). Esto viola la condición de que la intersección de dos conjuntos abiertos sea abierta en una topología.

Sin embargo, si se requiere no sólo que los conjuntos "abiertos" no vacíos sean infinitos, sino también que sus complementos sean finitos (que es una condición más fuerte), entonces uno tiene una topología. Se denomina topología cofinita o topología de complemento finito :  $$\Omega=\{\varnothing\}\cup\{U\subseteq R\,|\,U^{\mathsf c}\text{ is finite}\}.$$

Answer 2

Puedes dejar que tus dos conjuntos sean los enteros pares e Impares, excepto que el conjunto de enteros pares se aumenta para incluir también el elemento 1. Entonces la intersección es simplemente $\{1\}$ que es finito, por lo que el cierre bajo la intersección de conjuntos abiertos finitos falla. En general todo lo que necesitas son dos conjuntos infinitos disjuntos y luego tomar un número finito de elementos de un conjunto e incluirlos como elementos adicionales en el segundo conjunto. Entonces la intersección será este conjunto finito no vacío de elementos adicionales que has añadido al segundo conjunto. Así que, de nuevo, el cierre bajo la intersección de conjuntos abiertos finitos falla.

Answer 3

Dejemos que $U_1$ sea el conjunto de números pares unión 1, y sea $U_2$ sea el conjunto de números Impares. entonces..

Answer 4

Creo que la respuesta es no, no es una topología porque no satisface la primera condición de la topología. $\mathbb{R}$ Pero no tiene $\mathbb{R}$ en él. Según la primera condición de la topología, el conjunto vacío y $X$ {conjunto de tierra} que es $\mathbb{R}$ pertenecen a taa pero tiene todos los subconjuntos infinitos de $\mathbb{R}$ no $\mathbb{R}$ mismo. Por eso, en mi opinión, la taa no es una topología