Duda sobre números racionales y números reales

Question

Estoy revisando el sistema de números de un libro de análisis. Está escrito que:

1) no hay ningún número racional $p \ (> 0)$ que satisfaga $p^2 = 2$.

2) El conjunto $\{p: p^2 < 2\}$ no tiene un elemento mayor y el conjunto $\{p: p^2 > 2\}$ no tiene un elemento menor.

Ahora está escrito que lo anterior implica que el sistema de números racionales tiene ciertos vacíos. Sin embargo, solo el primero es suficiente para mostrar que hay algunos números que no son racionales, es decir, el sistema de números racionales no describe completamente el sistema de números, es decir, tiene ciertos vacíos. ¿Cuál es la implicación del segundo?

Mi confusión básica es qué se entiende por "vacío". ¿Por qué se dice que $\Bbb Q$ tiene un vacío mientras que $\Bbb R$ se dice que no tiene vacíos?

Answer 1

Puedes pensarlo de esta manera: no hay un número real $x$ tal que $x^2 = -1$, pero eso no implica que $\mathbb{R}$ tenga agujeros. Simplemente significa que hay cosas más allá de $\mathbb{R}$. El punto de la segunda afirmación es mostrar que no solo $\mathbb{Q}$ no es completo (en un sentido cotidiano, de la misma manera en que $\mathbb{R}$ no es completo porque puedes extenderlo a $\mathbb{C$}), sino que de cierta manera puedes dividirlo en dos partes y dejar un espacio en medio.

Answer 2

Lo que el texto puede estar tratando de afirmar es que los números racionales pueden dividirse en dos piezas "separadas". La segunda afirmación muestra dos de esas piezas y señala que ningún punto de ninguna de las dos piezas está "infinitamente cerca" de la otra pieza (por ejemplo, diríamos que $0$ está infinitamente cerca del conjunto de números positivos, ya que podemos encontrar números positivos arbitrariamente cerca de $0$). Para demostrar que su unión es todo $\mathbb{Q}$, necesitamos la primera afirmación, que el elemento que hemos "dejado fuera" (es decir, $\sqrt{2}$), no está en $\mathbb{Q}$.

Answer 3

¿El libro de texto habla en algún lugar cercano sobre el Teorema del Valor Intermedio? Puede estar tratando de demostrar que no se cumple en $\mathbb{Q}$.

Sea $f(x) = x^2$. Es continua, incluso en $\mathbb{Q}$. Dado que $2$ está entre $f(1)$ y $f(2)$, parecería intuitivo que exista un $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = 2$. Sin embargo, a diferencia de en $\mathbb{R}$, esto no es cierto.

Answer 4

¿Qué es un espacio en un conjunto de números? Es un número que es mayor que algunos de ellos y menor que otros, de manera que está entre o entre ellos de alguna manera, ¡pero que no es uno de ellos!

¡Note que podemos dividir los números racionales en tres conjuntos: aquellos menores que $1/2$, luego $1/2$ mismo, y por último aquellos mayores que $1/2$. Esto claramente representa una partición de tres vías que incluye a todos los números racionales. Además, podemos quitar el $1/2$ y luego tenemos un espacio entre los restantes. El $1/2$ se encuentra entre los otros dos conjuntos. Sabemos que no faltan racionales entre ambos conjuntos y $1/2$ porque ambos conjuntos incluyen racionales que están arbitrariamente cerca de $1/2$.

El segundo argumento muestra que al hacer este tipo de partición de tres vías, podemos reemplazar $1/2$ por un número que no sea racional, como $\sqrt 2$, y aún así funciona de la misma manera. Entonces tenemos una situación en la que la partición superior e inferior contienen todos los racionales, separados por un número entre ellos que no es racional. Al igual que un $1/2$ eliminado, representa un espacio: excepto que como no es racional, no tiene que ser eliminado: simplemente es ese espacio.

El segundo argumento es necesario porque no es suficiente saber que $\sqrt 2$ no es un racional, sino también que está entre ellos, en el mismo continuo.

Answer 5

No existe un número racional $q$ tal que $q^2=-1$, pero la ausencia de dicho número racional no implica un "hueco" en los números racionales - tampoco hay cuadrados perfectos de racionales inmediatamente a cada lado de $-1$.