Función de$\mathbb R^{2}$ a$\mathbb R^{2}$

Question

Deje que$z=x+iy$ y$f:\mathbb R^{2}\to \mathbb R^{2}$ sea la función$f(x,y)=f(z)=z^{2}=(x^{2}-y^{2},2xy). Let $ $(Df)(a)$% que denota la derivada de$f$ en$a$. Entonces, ¿cuáles son correctos?

1. $(Df)(a)h=2ah$, dónde $a=a_{1}+ia_{2}$ & $h=h_{1}+ih_{2}.$
2. $(Df)(a)=2\begin{bmatrix}a_{1} & -a_{2} \\ a_{2} & a_{1}\end{bmatrix}$.
3. $f$ es uno-uno.
4. Para cualquier$a\in \mathbb R^{n}\setminus \{(0,0)\}$,$f$ es uno-uno en algunos nbd. de$a$.

Sabemos que,$(Df)(a)=\bigtriangledown f(a).$ Entonces, la opción (2) es correcta. Pero, ¿cómo la opción (a) es correcta? También los otros son verdad o no?

Answer 1

$f$ no es uno-uno, ya que para$z_1=1+i$ y$z_2=-1-i$, obtenemos$f(z_1)=f(z_2)$ pero$z_1\neq z_2$.