Dado un gran polinomio univariado, digamos de grado 200 o más, ¿existe una forma procedimental de encontrar todas las raíces complejas? Por "raíces", me refiero a aproximaciones decimales complejas a las raíces, aunque la multiplicidad de la raíz es importante. Tengo acceso a MAPLE y la función más cercana que he visto es:
with(RootFinding):
Analytic(Z,x,-(2+2*I)..2+2*I);
pero esto se ahoga si Z es de alto grado (de hecho no se completa incluso si grados (Z)> 15).
Creo que uno de los mayores problemas es aproximarse a múltiples raíces. El enfoque descrito en
L.Brugnano, D.Trigiante. "Raíces polinómicas: ¿la respuesta definitiva?", Álgebra lineal y sus aplicaciones 225 (1995) 207-219
se basa en la aproximación de valores propios de una matriz tridiagonal, obtenida mediante la aplicación del algoritmo GCD de Euclides al polinomio original, y parece funcionar bastante bien.
No pude encontrar el pdf para el artículo, lo siento.
Todo el mundo el primer punto de partida cuando se trata con el polinomio rootfinding problema debe ser igual a J. M. McNamee excelente bibliografía y libro.
Ahora, es un hecho que los polinomios de alto grado tienden a hacer más polinomio rootfinders choke. Incluso el estándar de la caja negra, el Jenkins-Traub algoritmo, se pueden ahogar si no están adecuadamente protegidos. Eigenmethods, mientras que otros pueden tener buenos exactitud, puede ser muy exigentes con el espacio y el tiempo (O(n2) y espacio O(n3) operaciones por un problema con el sólo O(n) entradas!)
Mi punto es que a menos que usted está dispuesto a dedicar algo de tiempo y una precisión adicional, este es un problema insoluble.
De haber sido pesimista en esas últimas frases, una familia de métodos que usted puede desear mirar en (y he tenido éxito personal con) son los llamados "simultánea iteración" métodos. El más simple de ellos, (de Weierstrass-)Durand-Kerner, es esencialmente una aplicación del método de Newton para las fórmulas de Vieta, tratados como n ecuaciones en n incógnitas (la suposición de tomado de (W)DK es que su polinomio es monic, pero que es fácil de conseguir).
Si desea más detalles y referencias, el libro de McNamee he mencionado anteriormente es un buen comienzo.
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