La no diferenciabilidad en $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ de la modificación de la función de Thomae

Question

Este es el problema con el que estoy luchando:

¿Dónde está la siguiente función continua, diferenciable, continuamente diferenciable?

$$f(x) = \begin{cases} q^{-2} & \text{if $x=\frac{p}{q}$ in lowest terms, $q\in\mathbb N$ } \\ 0 & \text{if $x$ is irrational or $x=0$} \\ \end{cases} $$

Como puedes ver, es una modificación del La función de Thomae : $q^{-2}$ aquí en lugar del original $q^{-1}$ .

Hasta ahora, he demostrado que esta función (a diferencia de la función de Thomae) es diferenciable en $x=0$ . Y espero que sea indiferenciable en $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ (mi suposición se basa en gran medida en la Propuesta 4.1 Sin embargo, la prueba general del documento es demasiado avanzada para mí).

Me alegré mucho de encontrar la prueba del caso $q^{-1}$ : fue muy beneficioso para mí trabajar a través de él y probarlo aquí, sin embargo, no parece funcionar en mi caso.

Cualquier ayuda se agradece enormemente.

Answer 1

Primero probaré una forma ligeramente debilitada de Teorema de aproximación de Dirichlet .

Teorema. Para cualquier número real $\alpha$ y un número entero positivo $m$ hay números enteros $p_m$ y $q_m$ con $1\le q_m\le m$ tal que $$|q_m\alpha-p_m|<\frac1m\;.$$

Prueba. Esto es claramente cierto si $\alpha$ es racional, por lo que se supone que $\alpha$ es irracional. Para $x\in\Bbb R$ dejar $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la parte fraccionaria de $x$ . Por el principio de encasillamiento debe haber distintos $i,j\in\{1,\dots,m+1\}$ y $k\in\{0,\dots,m-1\}$ tal que $$\frac{k}m\le\{i\alpha\},\{j\alpha\}<\frac{k+1}m\;,$$ para que $0<\{|i-j|\alpha\}<\frac1m$ y $1\le|i-j|\le m$ . Sea $q_m=|i-j|$ y que $p_m=\lfloor q_m\alpha\rfloor$ Entonces $$0<\{q_m\alpha\}=q_m\alpha-p_m<\frac1m\;.\dashv$$

De ello se deduce que si $\alpha$ es irracional, la secuencia $\left\langle\frac{p_m}{q_m}:m\in\Bbb Z^+\right\rangle$ converge a $\alpha$ . Además, para cada $m\in\Bbb Z^+$ tenemos $$\left|\alpha-\frac{p_m}{q_m}\right|<\frac1{mq_m}\le\frac1{q_m^2}$$ y por lo tanto

$$\frac{\left|f\left(\frac{p_m}{q_m}\right)-f(\alpha)\right|}{\left|\frac{p_m}{q_m}-\alpha\right|}=\frac{f\left(\frac{p_m}{q_m}\right)}{\left|\frac{p_m}{q_m}-\alpha\right|}>q_m^2f\left(\frac{p_m}{q_m}\right)\ge 1\;.$$

Así, si $f\,'(\alpha)$ existe, debe satisfacer $|f\,'(\alpha)|\ge 1$ . Por otro lado, un cálculo similar utilizando una secuencia de números irracionales que convergen a $\alpha$ muestra que $f\,'(\alpha)$ si existe, debe ser $0$ . De ello se desprende que $f$ no es diferenciable en $\alpha\in\Bbb R\setminus\Bbb Q$ .