Demuestre que si una función $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es diferenciable con inversa diferenciable entonces $m = n$

Question

Hasta ahora lo he hecho:

$\boldsymbol{f^{-1}} \circ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a} \implies [\boldsymbol{D}(\boldsymbol{f^{-1}}(\boldsymbol{a}) \circ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}))] = I_n \implies [\boldsymbol{D}\boldsymbol{f^{-1}}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}))][\boldsymbol{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})] = I_n $ por la regla de la cadena.

Interpretación de $[\boldsymbol{D}\boldsymbol{f^{-1}}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}))]$ como la matriz compuesta por operaciones de reducción de filas, $[\boldsymbol{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})]$ reduce la fila a $I_n$ . Ahora $[\boldsymbol{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})]$ es un $m \times n$ matriz, por lo que tenemos $m \le n$ : ¿Esto es convincente? ¿Cómo lo hago riguroso?

Esto parece una pregunta similar a Existencia de una función inversa a la diferenciable

Answer 1

Esta función $f$ que es diferenciable, biyectiva y tiene una inversa diferenciable, se llama difeomorfismo.

Reclamación: Si $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ es un difeomorfismo, entonces $Df(x)$ es biyectiva para todo $x\in\mathbb{R}^n$ .

Prueba : Consideremos $f^{-1}\cdot f(x)=x$ y $f\cdot f^{-1}(x)=x$ .

Derivando la primera ecuación se obtiene

$$Df^{-1}(f(x))Df(x)=I_n$$

y la segunda ecuación da

$$Df(f^{-1}(y))Df^{-1}(y)=I_m$$

Configuración $y=f(x)$ vemos que la segunda ecuación se convierte en

$$Df(x)Df^{-1}(f(x))=I_m$$

Pero esto sólo significa que $Df(x)$ es una matriz invertible con inversa $Df(x)^{-1}=Df^{-1}(f(x))$ . $\square$

¿Puede un $m\times n$ sea invertible si $m\not=n$ ?

No, por lo tanto $f$ siendo un difeomorfismo implica $m=n$ .

Nota : Esto también se aplica a los difeomorfismos $f:U\rightarrow V$ donde $U\subset\mathbb{R}^n$ , $V\subset\mathbb{R}^m$ abierto (con la misma prueba, ser diferenciable es una propiedad local). El resultado se llama invarianza de la dimensión/invarianza del dominio .

Por el mero hecho de continuo mapas $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ que son biyectivos y tienen una inversa continua (llamados homeomorfismos), este resultado también es cierto, pero requiere más maquinaria (usando la homología singular es trivial, pero también se puede demostrar de forma "elemental" usando el teorema del punto fijo de Brouwer).

Answer 2

La forma más sencilla de demostrarlo es la siguiente: Supongamos que $m>n$ y $I_m :\mathbb R^m\to\mathbb R^m$ el mapa de identidad. ( $I_m$ es también la identidad $m\times m$ matriz). Entonces, para $a\in\mathbb R^μ$ $$ I_m=f\circ f^{-1}\quad\Longrightarrow\quad I_m=DI_m =Df\big(f^{-1}(a)\big) Df^{-1}(a). $$ Pero $Df\big(f^{-1}(a)\big)$ es un $m\times n$ y su rango es como máximo $n$ , mientras que $Df^{-1}(a)$ es un $n\times m$ y su rango es también como máximo $n$ . Por lo tanto, su producto también tiene un rango como máximo $n$ que contradicen el hecho de que su producto es el $m\times m$ matriz de identidad, con rango $m>n$ .