Muestran que $k[x,y,z]/(xz-y^2)$ no es una UFD.

Question

Estoy tratando de mostrar que $k[x,y,z]/(xz-y^2)\not\cong k[x,y]$. El último es un disco flash usb, así que estoy tratando de mostrar el ex no. Claramente $x$ no es primo, ya $x|xz$, lo que implica $x|y^2$ pero $x|y$. Así que si puedo demostrar que $x$ es irreductible, a continuación, $k[x,y,z]/(xz-y^2)$ no es un UFD, porque irred implica en primer Ufd.

Intento: Suponga $x$ se reduce a $ab$$k[x,y,z]/(xz-y^2)$, entonces sabemos que existe un $c$ $k[x,y,z]$ tal que $x=ab+c(xz-y^2)$ $k[x,y,z]$ o más útil como $x-ab=(xz-y^2)c$. Alguien me sugirió que escriba $a,b$ estos son de grado 1 en $y$, es decir, reemplazar todos los $y^n$$xz$. Esto significa que el lado izquierdo es el grado en la mayoría de los 2 en $y$ y el lado derecho es el grado al menos dos en $y$$x-ab=(xz-y^2)c$. No estoy seguro de dónde ir desde aquí, con solo saber que $c$ no $y$ términos, aunque. En última instancia, quiero mostrar que esto obliga a $x=ab$$k[x,y,z]$, lo que, desde el $x$ es irred allí, muestra que $a,b$ es una unidad, lo que significa que $x$ es irreducible en a $k[x,y,z]/(xz-y^2)$.

Answer 1

Es más fácil observar que $xz=y^2$ en el ring da una descomposición en realizar que no es único ($x$, $y$ y $z$ es irreducible porque son de grado uno, su cociente es homogéneo). Por supuesto, esto también muestra $x$ no es privilegiada ya que se divide el $y^2=y y$ pero divide ni $y$ ni $y$.

Answer 2

El álgebra $k[x,y,z]/(xz-y^2)$ es un dominio gradual, con (clases de) $x$, $y$ y $z$ en grado $1$.

En un dominio gradual, el producto de dos elementos no homogéneos es no homogénea. Así que si $x$ es un producto de dos elementos, éstos deben ser homogéneos. Ya que $x$ $1$ de grado, sólo puede ser producto de un elemento de grado $1$ y un elemento de grado $0$. Puesto que los únicos elementos de grado cero unidades, hemos terminado.