Calcular una integral

Question

Estaba tratando de ver si hay una forma sencilla de calcular la siguiente integral, donde $0<a alguna="" de="" dx="" idea="">Nota: Con el cambio de variables y el uso de la expansión de la serie $\log(1+x)$, uno puede reducir el problema de calcular los $k\geq 0$ $$ \int_0^{b-a}y^k\frac{\sqrt{y(b-a-y)}}{(y+a)(1-a-y)} dy, $$ pero entonces estoy atrapado...

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Answer 1

Si dejamos que

$$I = \int_a^b\log(x)\frac{\sqrt{(x-a)(b-x)}}{x(1-x)}dx$$

utilizando el AM GM desigualdad

$$ \sqrt{(x-a)(b-x)} \leq \frac{x-a+b-x}{2} = \frac{b-a}{2}$$

y el hecho $\hspace{5pt}log(1+x) \leq (1-x) \hspace{5pt}$ $x>0$,

$$ I \leq \int_a^b \frac{b-a}{2x} dx \leq \frac{1}{2}(b-a)ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

Quizás tengo que pensar de límite inferior. Pero este método sólo es la determinación de los límites.