Intuición: 5 poliedros regulares, 6 politopes regulares 4 y luego 3 d-polytopes regulares

Question

Esta pregunta fue publicado en MathEducators hace un par de días. Los usuarios sugirió puedo publicar en el MSE.

Estoy en busca de una explicación intuitiva (que tendría sentido para los estudiantes universitarios de los Estados Unidos) por qué el número de regular polytopes en la dimensión $d$ es:

• $d=2$, en el número: $\infty$.
• $d=3$, en el número: $5$, los cinco sólidos Platónicos.
• $d=4$, en el número: $6$, $24$- célula de la polytope con una clara $\mathbb{R}^3$ analógico.
• $d \ge 5$, en el número: $3$, el simplex, hipercubo, y su dual de la cruz-polytope (o orthoplex).

Las derivaciones (Diophantine ecuaciones) son convincentes sin proporcionando una clara intuición. ¿Hay alguna explicación intuitiva, tal vez alguna explicación acerca de cuánto "habitación" no hay en el $\mathbb{R}^d$? Me he preguntado si existe una conexión con el máximo de volumen de una unidad de pelota alcanzado en la dimensión de $5$,

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          ^{Sinopsis: Dave Richeson del blogde 2010.}

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pero véase el proyecto de Ley de Thurston observaciones sobre la unidad de una pelota de volumen.

Answer 1

Para que el razonamiento no preguntar por la existencia de todos aquellos regular polytopes, pero por las limitaciones.

Que no son polígonos regulares {p} con cualquier número p de los lados, es claramente evidente a partir de su inscripción en un círculo, mientras que la reducción de la longitud lateral.

Más allá de considerar la Schläfli Símbolos: poliedros regulares son {p,q}, donde {p} es la cara normal que se utiliza, y {q} es regular vértice de la figura. Para tener algo de angular defecto, usted sólo puede tener 3x{3}, 4x{3}, 5x{3}, 3x{4}, y 3x{5} por vértice, es decir,{3,3}, {3,4}, {3,5}, {4,3}, y {5,3} respectivamente.

El siguiente nivel es el uso regular de los poliedros de {p,q} células y también poliedros regulares {q,r} para vértice figuras. Esto define la regular polychoron {p,q,r}. Coxeter reglas, en primer lugar, que cada vez que un 5 es usada en los números de un Símbolo de Schläfli, entonces no 4 puede ocurrir. Considerando angular defectos de nuevo, esta por lo tanto sólo las hojas {3,3,3}, {3,3,4}, {3,3,5}, {3,4,3}, {4,3,3}, y {5,3,3}.

Entonces, para 5D polytopes, usted necesita algunas regular polychora {p,q,r} para facetas y algunos regulares polychora {q,r,s} para el vértice de la figura. Esto define la regular {p,q,r,s}. De nuevo teniendo en cuenta el ángulo de defecto, que se quedará con {3,3,3,3}, {3,3,3,4}, y {4,3,3,3}.

Y está restringido a los 3, es obvio que en cualquier dimensión superior, no más de 3 regular polytopes puede existir.

--- rk