¿Cómo calcular $\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx$?

Question

Supongamos que sabemos $\int \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{x^2+1}+C$

¿Cómo calcular $\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx$?

He intentado escribir como $\frac{1+x^2-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}+\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$. Pero entonces ¿cómo lidiar con $\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$?

¿Algunas ideas?

Answer 1

El enfoque mostrado por Elliot G está perfectamente bien, pero si quieres una alternativa viable, se puede considerar que: %#% $ #% por lo tanto, por cuadratura de ambos lados: $$ \frac{1}{x^2+1} = \frac{1}{(x+i)(x-i)} = \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}\right) $ $ así: $$ \frac{1}{(x^2+1)^2} = -\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(x-i)^2}+\frac{1}{(x+i)^2}-\frac{2}{x^2+1}\right)$ $ o:

$$ \int\frac{dx}{(x^2+1)^2} = C+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-i}+\frac{1}{x+i}\right)+\frac{1}{2}\arctan x $$

Answer 2

Para encontrar $$\int\frac{x^2dx}{(x^2+1)^2}$$ you may want consider the trigonometric subsitution $x=\tan t$ and $dx=\sec^2t dt$

Esto da:

$$\int\frac{\tan^2t \sec^2t dt}{(\tan^2t+1)^2}=\int\frac{\tan^2t \sec^2t dt}{\sec^4t}=\int\frac{\tan^2t dt}{\sec^2t}=\int \frac{\sin^2t\cos^2t}{\cos^2t}dt=\int \sin^2tdt$$

La última integral se evalúa fácilmente con la fórmula de reducción $\sin^2t= \dfrac {1 - \cos 2 t} 2$.

Answer 3

Por lo que su problema se reduce a $$\int\frac{x^2dx}{(x^2+1)^2}$ $ integrar por partes: que $u=x$ y $dv=\frac{x}{(x^2+1)^2}dx$. $du=dx$ Y $v=-\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1}$ así que tenemos $$-\frac{1}{2}x(x^2+1)^{-1}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2+1}$ $ y eso último integral puede saltar en usted como un particular derivado de trig