¿Son los modelos no estándar de análisis clásico los modelos estándar del análisis no estándar?

Question

Nunca he comprendido cómo los modelos no estándar de análisis clásico relacionado con los modelos estándar de análisis no estándar. Sé que análisis no estándar consiguieron su comienzo con Robinson (y otros) estudiando modelos no estándar de los reales, pero no sé lo suficiente sobre el análisis no estándar para saber si el campo se convirtió más allá de eso.

¿Son los modelos no estándar de análisis clásico todo y solo los modelos estándar de análisis no estándar?

Answer 1

En primer lugar, el análisis no estándar desarrollado mucho más allá de la (bastante) la teoría de la Robinson desarrollado.

No hay standrad modelo no estándar de análisis. Posiblemente, nunca habrá, pero no importa, y lo que es más importante, probablemente nunca podría o debería ser.

El modelo estándar de análisis existe porque el segundo fin de axiomas de completar real ordenó campos son categóricos. Cada dos modelos son isomorfos, por lo tanto no es, básicamente, un modelo - voila estándar. Pero, por supuesto, no hay ningún estándar de uno, acaba de varias construcciones de los reales, que a nadie le importa ya que funciona con cualquier modelo de axiomáticamente de todos modos.

Para el análisis no estándar que no hay tal categoricity. No estándar modelos, como el desarrollado por Robinson, existe por el teorema de compacidad. Otras construcciones existe, por ejemplo mediante el uso de ultraproducts. En cualquier caso, no es explícita la construcción de cualquier modelo no estándar. Cada construcción se basa en alguna de las más fuertes principio de la elección, y por lo tanto no podemos tener un muy explícita descripción de un modelo no estándar.

En última instancia, el objetivo del análisis no estándar es para hacer el análisis. Muy estándar de análisis. El objetivo es desarrollar la prueba, herramientas y técnicas que no son estándar en el fin de comprender mejor el análisis. Así, no es tanto cualquier modelo no estándar que deseamos estudiar, sino más bien la extensión de los reales a un modelo no estándar + de la transferencia de principio.

La transferencia de principio dice que aunque una extensión de una standrad modelo para un anormales de uno (no importa que uno elija) es bastante salvaje y sobre todo es una caja negra, el primer orden de la teoría de ambos modelos es muy relacionados. Básicamente, cada primer fin de frase (con delimitada cuantificación) se mantiene en el modelo estándar iff su $^*$ transformar sostiene en el modelo ampliado. Con que en el lugar, las particularidades de la extensión son, en gran medida, irrelevante.

Así que, para resumir, hay muy poca esperanza de no ser algo remotamente parecido a una construcción explícita de un modelo no estándar, digamos que se merece ser llamado 'estándar'. En segundo lugar, incluso si la hubiera, es la transferencia de principio que nos importa, y no tanto la extensión de sí mismo.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Hay un aspecto de análisis no estándar que es totalmente constructivo, a saber, los modelos no estándar de la aritmética construido por Skolem entre 1933 y 1934, sin depender de ninguna forma de que el axioma de elección. Tomando el campo de fracciones de Skolem del modelo, se obtiene un campo que satisface una forma de la transferencia de principio de si uno sólo funciona con definibles hnumbers y objetos. La razón de esto no es suficiente, es porque en el análisis ESTÁNDAR es habitual completar los racionales a un campo que contiene indefinible números reales (además de la countably muchos definibles). Con el fin de acomodar a todos aquellos, uno necesita invocar más fuerte significa que Skolem de la construcción. De tal manera, el no constructiva aspecto de, por ejemplo, la ultrapower enfoque a la hyperreals es necesaria directamente por el ideal aspectos de la tradicional reales, generalmente se coloca en la base de los análisis.