Resuelve una ecuación en un grupo cíclico

Question

Permita que$G$ sea un grupo cíclico finito de orden$n$. Si$d$ es un divisor positivo de$n$, compruebe que la ecuación$x^d = e$ tiene exactamente$d$ soluciones distintas en$G$

Esta es una pregunta de práctica que se me ha asignado y no tengo ni idea de cómo abordar esto.

Answer 1

Pistas:

1) permita que$g$ sea un generador de$G$. ¿Puedes mostrar que$g^{n/d}$ resuelve$x^d=e$

2) ¿ahora puedes pensar en más elementos en$g$ que resolverán esta ecuación?

3) una vez que hayas agotado el truco anterior para encontrar tantas soluciones para$x^d=e$ como puedas, deberías tener soluciones$d$. Todos estos tienen una forma particularmente agradable. Ahora demuestre que cualquier elemento que no sea de esa forma no es una solución.

Answer 2

Insinuación:

Permita que$g$ sea un elemento de orden$n$ en$G$, y permita$m=n/d$. Entonces, las raíces son$\{g^m, g^{2m},\dots,g^{dm}\}$.

Intenta demostrar que estos elementos son raíces y los otros elementos no.

Answer 3

Si eres mejor en teoría de números, puedes comenzar con esto.

Deje$g\in G$ ser un generador y$f:G\rightarrow Z_n$ definido por$f(g^i)=i$. Puede mostrar fácilmente que$f$ es un isomorfismo entre$G$ y$Z_n$ que son solo enteros módulo$n$. Entonces, su problema se reduce a$dx =0 (\text{mod} \ n)$.