Por qué es cada meromorphic de la función en $\hat{\mathbb{C}}$ una función racional?

Question

Sé que una analítica de la función en $\mathbb{C}$ con un no esenciales de la singularidad en $\infty$ es necesariamente un polinomio.

Consideremos ahora una función de meromorphic $f$ sobre el plano complejo extendido $\hat{\mathbb{C}}$. Sé que $f$ tiene sólo un número finito de polos, decir $z_1,\dots,z_n$$\mathbb{C}$. Supongamos también que $f$ tiene un no esenciales de la singularidad en $\infty$.

Entonces si $z_i$ tienen órdenes de $n_i$, se deduce que el $\prod(z-z_i)^{n_i}f(z)$ es analítica en $\mathbb{C}$, y tiene un no esenciales de la singularidad en $\infty$, y por lo tanto es un polinomio, por lo $f$ es una función racional.

Pero tengo curiosidad, ¿qué pasa si $f$ no tiene una singularidad en $\infty$ o, de hecho, tiene una singularidad esencial en a $\infty$ lugar? Es $f$ todavía una función racional?

Answer 1

La función exponencial tiene una singularidad esencial en a $\infty$, pero es meromorphic en cualquier lugar-y no es racional.

Por otro lado, si la singularidad en $\infty$ es extraíble, entonces la prueba se esboza todavía funciona, y muestra que $f$ debe ser una función racional.